3. Правило сложения дисперсий

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповых: Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. С его помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий:

;

Примеры решения задач

Пример 1.

Поясним правила сложения на примере. Имеются следующие данные о производительности ткачей за час работы.

Исчислим:

1. групповые дисперсии;

2. среднюю из групповой дисперсии;

3. межгрупповую дисперсию;

4. общую дисперсию.

1. Для расчета групповых дисперсий исчислим среднее по каждой группе:

X₁ = = 15 т.; X₂ = = 21 т.

Подставив полученные значения в формулу, получим:

Таблица

Табельный номер ткача	Изготовлено ткани трехстаночниками за 1 час (х)	х –хi	(х – хi )2	Табельный номер ткача	Изготовлено ткани четырехстаночникамм за 1 час (х)	х – хi	(х – хi)2
1	13	–2	4	7	18	–3	9
2	14	–1	1	8	19	–2	4
3	15	0	0	9	22	1	1
4	17	2	4	10	20	–1	1
5	16	1	1	11	24	3	9
6	15	0	0	12	23	2	4
Итого	90		10		126		28

2. Рассчитаем среднюю из групповых (частных) дисперсий:

3. Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

² = 18 м².

4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсии:

² = _i +  = 3,16 + 9 = 12,16.

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

Расчет обычным способом привел к аналогичному результату, но оказался более трудоемким.

Свойства дисперсии

1) уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет;

2) уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину (А) дисперсии не изменяет;

3) уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз (К) соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в (К2) раз, а среднее квадратическое отклонение – в (К) раз;

4) дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности средней и произвольной величинами:

Если число А равно нулю, то приходим к следующему равенству:

т.е. дисперсия признака равна разности между квадратом значения признака и квадратом средней. Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другим.

• Среднее квадратическое отклонение () представля­ет собой корень квадратный, извлеченный из дисперсии. Различают простое и взвешенное среднее квадра­тическое отклонение.

Простое (невзвешенное) среднее квадратическое от­клонение определяется по формуле

Взвешенное среднее квадратическое отклонение опре­деляется по формуле