2. Корреляционно-регрессионный анализ

Условиями правильного использования методов теории кор­реляции являются следующие:

а) наличие однородности тех единиц, которые подлежат ис­следованию (например, отбор предприятий, которые выпускают однотипную продукцию, имеют одинаковый характер техноло­гии и тип оборудования и т. п.);

б) достаточно большое количество наблюдений, при которых мы погашаем влияние случайностей на результативный признак и имеет силу закон больших чисел;

в) нормальный характер распределения результативного при­знака, на котором построены все положения теории корреляции.

СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ

Рисунок 9.2. Построение парной регрессии.

В основе теории корреляции лежит корреляционно-регресси­онный анализ (КРА), суть которого заключается в выборе вида уравнения регрессии

Y=f(x) (1)

В вычислении его параметров и уста­новлении адекватности (соответствия) теоретической зависимос­ти фактическим данным, представленным в табличном фор­ме. Наличие такой теоретической зависимости значительно об­легчает анализ экономических явлений, дает возможность уста­новления прогноза на будущее.

Наиболее часто для характеристики корреляционной связи между признаками применяют такие виды уравнений парной рег­рессии, или корреляционных уравнений:

а) линейный Y = а₀ + a₁ х; (2)

б) параболический Y= a₀ + a_tx² (3)

в) гиперболический Y = а₀ + а₁ /x (4)

г) степенной, Y = а₀ хⁿ и др. (5) где а_о, a₁— параметры уравнений регрессии, которые подлежат определению.

Параметры a_j. (j=l m) в уравнениях регрессии определя­ются методом наименьших квадратов Уравнение (2) является линейным относительно факторного признака .х и линия регрессии, которая отвечает функции такого вида, будет прямой; уравнения (3) —- (5) — нелинейные и линии регрессии будут соответственно параболой (3), гиперболой (4), степенной линией (5). Соответствующими преобразованиями не­линейные уравнения можно свести к линейной форме, так как клас­сическая теория корреляции является по своей сути линейной.

Этот метод наи­лучшим образом отвечает корреляционной таблице и допускает нахождение таких значений параметров уравнения регрессии, при которых сумма квадратов отклонений табличных (фактических) значений результативного признака у от теоретических значений У по линии регрессии была бы минимальной:

S = ∑(y-Y)² =min,

Функция S параметров уравнения регрессии а_i будет минималь­ной тогда, когда выполняются необходимые условия нахождения экстремума этой функции — равенство нулю первых производ­ных функции по разыскиваемым параметрам:

∂S / ∂a₀ = 0 ∂S / ∂a₁ = 0

Из этих условий формируется система нормальных уравне­ний для нахождения параметров аа и аг

В случае линейного вида уравнения регрессии (2), которое отвечает линейной зависимости между признаками, а система нормальных уравнений записывается в виде:

n a₀ + a₁∑x =∑y:

a₀ ∑x_i + a₁∑x² = ∑xy

где n — количество единиц совокупности (то есть заданных пар значений .v и у).

Решив эту систему, находим такие значения параметров:

a₀ = (∑y∑x² - ∑xy∑x) / (n∑x² - ∑x∑x);

a₁ = (n∑yx - ∑y∑x) / (n∑x² - ∑x∑x);

или а_{0 =} y_ср – a₁x_ср; a₁ = ((xy)_ср – x_ср y_ср) / (x_ср ²-(x_ср)²)

Параметр а₁ называется коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака У при изменении факторного признака х на единицу; геометрически параметр а, отвечает углу наклона (в радианах) прямой линии регрессии к горизонтальной оси.

Для оценки влияния факторного признака на результативный может рассчитываться коэффициент эластичности в среднем для всей совокупности:

К_е = а₁х_ср /y

где х, у - средние величины фактических данных соответствен­но по факторному и результативному признаку в целом для сово­купности.

• Коэффициент эластичности показывает, на сколько процен­тов в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Эх = а_i х_{i ср}/ y_ср

где аi – коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке

х_{i ср} = среднее значение соответствующего факторного признака

y_{ср –} среднее значение результативного признака.

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции.. Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, дают возможность определить «полезность» факторных признаков при построении уравнений множественной регрессии. Величина коэффициента корреляции служит также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.

• Коэффициент корреляции (корреляционное отношение) пока­зывает, насколько значительным является влияние признака х на Y. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

R =√ R²

Он находится в диапазоне 0 < R < 1; чем более близок R к единице, тем теснее корреляционная связь между признаками.

Иногда коэффициент корреляции рассчитывают по формуле, которую можно представить в виде:

R₁ =√∑(1- (y-Y)² / (∑y-ÿ)² )

В случае линейной связи между Y и х величина линейного ко­эффициента корреляции определяется по формуле:

r_xy = ( (∑xy - ∑x∑y/n) /√ [∑х²-(∑х)²/n] [∑y²-(∑y)²/n].

или r_xy = (σ²_x + σ²_y + σ²_x-y) / 2 σ_x σ_y

Значение r лежит в диапазоне -1 = r = +1. При г = 0 не суще­ствует линейной корреляционной связи. Степень тесноты их ли­нейной зависимости растет при приближении к ±1. Когда r > О связь между признаками прямая (при росте х растет У), при r < 0— обратная (при росте х уменьшается Y).