5.4. Средние величины в статистике.

Средняя величина является наиболее ценной с аналитической точ­ки зрения и универсальной формой выражения статистических пока­зателей. Наиболее распространенная средняя - средняя арифметичес­кая - обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы при ее расчете. В то же время при исчислении конкрет­ной средней всегда целесообразно опираться на ее логическую фор­мулу, представляющую собой отношение объема признака к объему совокупности. Для каждой средней существует только одно истинное исходное соотношение, для реализации которого, в зависимости от имеющихся данных, могут потребоваться различные формы средних. Однако во всех случаях, когда характер осредняемой величины под­разумевает наличие весов, нельзя вместо взвешенных формул сред­них использовать их невзвешенные формулы.

Средняя величина — это наиболее характерное для совокупности значение признака и распределенный равными долями между единицами совокупности раз­мер признака совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величи­на, носит название осредняемый.

Средняя величина — показатель, рассчитываемый сопоставлением абсолютных или относительных величин. Среднюю величину обозначают

Средняя величина отражает влияние всех факторов, влия­ющих на исследуемое явление, и является для них равнодей­ствующей. Другими словами, погашая индивидуальные откло­нения и устраняя влияние случаев, средняя величина, отражая общую меру результатов этого действия, выступает общей закономерностью изучаемого явления.

Условия применения средних величин:

• однородность исследуемой совокупности. Если некоторые подверженные влиянию случайного фактора элементы совокупности имеют значитель­но отличающиеся от остальных величины изуча­емого признака, то данные элементы повлияют на размер средней для данной совокупности. В этом случае средняя не будет выражать наиболее ти­пичную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление неоднородно, требуется его разбивка на содержащие однородные элементы группы. В данном случае рассчитывают средние по группам — груп­повые средние, выражающие наиболее характерную вели­чину явления в каждой группе, а затем рассчитывается об­щая средняя величина для всех элементов, характеризующая явление в целом. Она рассчитывается как средняя из группо­вых средних, взвешенных по числу включенных в каждую группу элементов совокупности;

• достаточное количество единиц в совокупности;

• максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности.

Средняя величина (показатель) – это обобщенная количественная характеристика признака в систематической совокупности в конкретных условиях места и времени.

В статистике применяется следующие формы (виды) средних величин, называемых степенными и структурными:

• средняя арифметическая (простая и взвешенная);

простая

взвешенная

Примеры решения задач

Пример 1.

Пусть имеются следующие данные о заработной плате рабочих сдельщиков:

Заработная плата, тыс. руб.	Число рабочих	Х x 
Х1 = 110	f 1 = 2	220
Х2 = 130	f 2 = 6	780
Х3 = 160	f 3 = 16	2560
Х4 = 190	f 4 = 12	2280
Х5 = 220	f 5 = 14	3080
ИТОГО	50	8920

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются по нескольку раз. Так варианта Х₁ встречается в совокупности 2 раза, а варианта Х₃ – 16 раз. Число одинаковых значений признака в рядах распределения называются частотой (или весом) и обозначается символом f.

Необходимо исчислить среднюю заработную плату одного рабочего ; среднюю заработанную плату одного рабочего , где А – заработная плата всех рабочих, N – число рабочих:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукции за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала «от – до». Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы от 5 до 7 шт., и т.д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значение вариант, т.е. образовались закрытые интервалы.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, штук	Число рабочих, 	Середина интервала, х	Хх 
3–5	10	4	40
5–7	30	6	180
7–9	40	8	320
9–11	15	10	150
11–13	2	12	60
ИТОГО	100		750

Исчисление средней по сгруппированным данным проводиться по формуле средней арифметической взвешенной.

.

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Так, для первой группы дискретная величина Х будет равна:

и т.д.

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

.

Итак, все рабочие произвели 750 штук изделий за смену, а каждый в среднем произвел по 7,5 штук.

Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами. Допустим, что имеются следующие данные о производстве продукции за смену.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, штук	Число рабочих
до 5	10
5 – 7	30
7 – 9	40
9 – 11	15
свыше 11	5
ИТОГО:	100

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.