Примеры решения задач

Пример 1.

В районе проживает 2400 семей. Для установления среднего количества детей в семье было проведена 2%-я случайная бесповторная выборка семей. В результате обследования были получены такие данные:

Количество детей	0	1	2	3	4	5
Количество семей	10	20	10	4	2	2

С вероятностью 0,954 определите границы, в которых будет находиться среднее количество детей в семье в генеральной сово­купности района города. Сделайте выводы.

Решение

Для определения границ генеральной средней необходимо рас­считать выборочную среднюю и ошибку выборочной средней. Установим среднее количество детей в семье в выборочной со­вокупности и дисперсию выборки:

Количес­тво детей в семье, х	Количест во семей, /	х*/	х -	(х – )2	(x- )2 f
0	10	0	-1,46	2,13	21,30
1	20	20	-0,46	0,21	4,20
2	10	20	+0,54	0,29	2,90
3	4	12	+ 1,54	2,37	9,48
4	2	8	+2,54	6,45	12,90
5	2	10	+3.54	12,53	25,06
Всего	48	70	х	х	75,84

Выборочная средняя: 70/48 = 1,46 детей

Выборочная дисперсия: σ²= ∑(х - )²f / ∑f = 75,84/48 ≈ 1,58

Средняя квадратическая ошибка выборки относительно сред­ней при бесповторном отборе равняется:

μ = √σ²/n (1 - n/N) = √1,58/48 (1-48/2400) = 0,18

Заданной вероятности Р - 0,954 отвечает коэффициент дове­рия t = 2,0. Тогда предельная ошибка выборки равняется: ∆ = tμ = 2,0 х 0,18 = 0,36 детей. Доверительный интервал для генеральной средней:

1,46 - 0,36 ≤ _р ≤, 1,46 + 0,36

Тогда с вероятностью 0,954 (или 95,4%) можно утверждать, что среднее количество детей в семье района приблизительно ле­жит в пределах 1 ≤ ≤ 2

Пример 2. Определение ошибки выборочной доли при случай­ном бесповторном и механическом отборе.

В районе города проживает 600 тыс. жителей. По материалам учета населения обследованы 60 тыс. жителей методом случай­ного бесповторного отбора. В результате обследования выбороч­ной совокупности выявлено, что в районе города 20% жителей по возрасту более 60 лет. С вероятностью 0,683 определите грани­цы, в которых находится часть жителей в возрасте старше 60 лет. Сделайте вывод.

Решение

Генеральная доля равняется р = w ± в. . Для определения гра­ниц генеральной доли необходимо рассчитать доли выборки и предельную ошибку доли. Выборочная доля жителей в возрасте старше 60 лет составляет 20%, то есть w=0,2.

Средняя квадратическая ошибка выборочной доли в случае бесповторного отбора составляет:

μ_w = √ w(l-w)(l-n/N)/n = √( 0,2 х 0,8(1-60/600))/60 = 0,052

Вероятности 0,683 отвечает коэффициент доверия t = 1, 0 и пре­дельная ошибка выборки равняется: ∆ = tμ =1,0х0,052 = 0,052.

Доверительной интервал для генеральной доли составляет:

0, 20 -0, 052 < р< 0, 20 + 0,052.

То есть, верхняя граница генеральной доли равняется р_в =0,252, или 25,2%; нижняя граница — р_н = 0,148, или 14,8%.

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей района города в возрасте старше 60 лет находится в пределах 1 4,8% <р< 25,2%.

Пример 3. В области зарегистрировано 6000 малых предприятий. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определения средней численности занятых с ошибкой ±2 чел. (Р=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение численности занятых составляет 9 чел.

Решение

n = 3² 9² 6000 / 3² 9² 2² 6000 = 176,9 ~ 177

с учетом полученного необходимого объема выборки (177 предприятий) определим интервал отбора: 6000 : 177 = 33,9. Определенный таким образом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону произведенная выборка не достигнет рассчитанного по формуле необходимого объема. Следовательно, в нашем примере из общего регистра малых предприятий необходимо отбирать каждое 33 предприятие. При этом процент отбора составит 3,03%