Бурлака, Кучеренко, Мазоренко, Тищенко, Основы теории механизмов и машин

движения 1 звена 1 силовой установки (рис.3.4). Следовательно, если определить закон движения этой простой модели, то тем самым станет известным искомый закон движения начального звена заданного механизма.

Из сказанного следует, что при построении ОДМ все силы и моменты, приложенные к звеньям машинного агрегата, приводятся к одному звену и заменяются

приведенным моментом M1пр , который по действию является эквивалентным всей этой нагрузке.

Аналогично, массы всех звеньев (меры их инертности) также приводятся к этому звену и заменяются

приведенным моментом инерции Ј1пр , который является эквивалентом инертности всех звеньев механизма.

Нижний индекс при параметрах приведения Ј1пр и

M1пр соответствует номеру звена приведения.

В результате перехода к ОДМ заданный многозвенный механизм (рис.3.4), нагруженный сложной системой сил и моментов, оказывается замененным простой моделью (рис.3.5).

Таким образом, построение однозвенной динамической модели состоит в приведении сил

(определению закона изменения M1пр ) и в приведении масс (определению закона изменения Ј1пр ). При этом приведение сил и масс в механизме должно быть сделано таким образом, чтобы выполнялось условие:

где 1 и 1м – углы поворота кривошипа 1 механизма и ОДМ соответственно;

1 и 1м – угловые скорости кривошипа 1 механизма и ОДМ соответственно.

92Лекция 5

В – скорость точки В приложения силы Fд.с. ;

– угол между вектором силы Fд.с. и вектором скорости В точки В приложения силы.

Учитывая уравнение (3.1), из которого следует1м 1 , решим уравнение (3.3) относительно искомого приведенного момента:

Полученное уравнение (3.4) можно переписать в общем виде, применительно к любой силе Fi ,

действующей на звено механизма, при ее приведении к n- му звену:

В правой части уравнении (3.6) знак “минус”, так

где Mi – момент, приложенный к звену механизма;

n – угловая скорость звена приведения;

i – угловая скорость звена приложения момента Mi .

В уравнении (3.8) знак “плюс” в случае, если направления момента Mi и угловой скорости i звена

приложения совпадают, а “минус” – если в разные стороны.

Для систем сил и пар, приложенных к звеньям механизма формула по определению приведенного к n-му звену момента сил, учитывая ранее полученные выражения (3.5) и (3.8), будет иметь вид:

где Fi – i-я сила, приложенная к звену механизма;

i – скорость точки приложения силы Fi ;

i – угол, образованный векторами Fi и i ;

механизма;

n – угловая скорость звена приведения.

3.1.6. Приведение масс в механизме

Звено приведения будет двигаться по тому же самому закону, что и в составе механизма, если при

приведении масс будет соблюдено условие равенства кинетической энергий звена приведения и кинетической энергии всех звеньев механизма.

Рассмотрим приведение масс на примере того же самого механизма (рис.3.4), выбрав в качестве звена приведения – звено 1.

Так как вся инертность ОДМ (рис.3.5) сосредоточена в одном подвижном звене, то приведенный

момент инерции Ј1пр этого звена является эквивалентом инертности всех звеньев механизма.

Величина Ј1пр определяется из условия равенства кинетических энергий Tм модели и всего механизма T :

Кинетическая энергия ОДМ, учитывая, что звено приведения совершает вращательное движение, будет равна:

95

Кинетическая энергия i-го звена механизма при плоском движении, как для наиболее общего случая движения звена, может быть записана так:

В случае поступательного движения звена ( i 0)

формула (3.12) приводится к виду:

Ti mi Si2 ,

2

а в случае вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс Si звена ( Si 0), уравнение

(3.12) приводится к виду:

Ti ЈSi i2 .

2

Кинетическая энергия рассматриваемого механизма (рис.3.4) складывается из кинетических энергий всех его подвижных звеньев:

T T1 T2 T3 T4 .

Учитывая, что звено 1 механизма совершает вращательное движение, 2 – плоское, 3 – поступательное, а 4 – вращательное, то их кинетические энергии будут равны:

T1 ЈО 12 ;

2

96 Лекция 5

T2 m2 S22 ЈS2 22 ;

2 2

должна равняться угловой скорости начального звена 1,

после решения уравнения (3.13) относительно Ј1пр , получим:

Ј1пр ЈО m2 S2 1 2 ЈS2 2 1 2

m3 В 1 2 ЈO1 4 1 2 . (3.14)

Распространяя полученное выражение (3.14) на механизм с любым количеством k подвижных звеньев можно записать зависимость для определения

Необходимо обратить внимание на то, что в формулы приведенного момента сил (3.9) и приведенного момента инерции (3.15) входят отношения скоростей линейных и угловых к угловой скорости звена приведения.

Так как при построении плана скоростей, через угловую скорость находят только скорость точки начального звена, а скорости остальных точек определяются положением звеньев механизма, то отношения скоростей входящие в уравнения (3.9) и (3.15) не будут зависеть от угловой скорости начального звена, а будут определяться только положением звеньев. Отсюда следует, что приведение сил и масс можно делать на этапе, когда не известен закон движения начального звена. Для этого достаточно выполнить кинематический анализ для любой произвольной угловой скорости начального звена, построить динамическую модель механизма (сделать приведение сил и масс), а затем уже находить ее закон движения.

В заключение отметим, что модель (рис.3.5), которой заменяется механизм, является условным телом, потому что момент ее инерции - переменный, тогда как реальные физические тела имеют постоянные моменты инерции.

3.1.7. Уравнение движения однозвенной динамической модели в интегральной форме

Выполнив приведение сил и масс, любой механизм с одной степенью свободы можно заменить его однозвенной динамической моделью (ОДМ).

Звено приведения (ОДМ) в общем случае имеет переменный приведенный момент инерции Јпр и к нему приложен переменный приведенный момент сил Mпр . (В

дальнейшем, для упрощения записи, номер звена приведения в индексах параметров приведения, угловых скоростей и углов поворота звена указывать не будем).

В качестве звена приведения механизма (ОДМ), как правило, выбирается звено, принятое начальным при проведении структурного и кинематического анализа.

Так как приведение сил осуществлялось на основании равенства элементарных работ (мощностей), а приведение масс – по условию равенства кинетических энергий, то при изучении движения звена приведения можно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии механической системы.

В конечной форме эта теорема формулируется так:

приращение (изменение) кинетической энергии механизма на конечном его перемещении равно алгебраической сумме работ всех задаваемых сил и реакций связей на соответствующих перемещениях точек их приложения:

энергия OДM в промежуточном i-м и в начальном положениях равна соответственно:

где Јiпр и i – приведенный момент инерции и угловая

скорость в промежуточном положении звена приведения;

Ј0пр и 0 – приведенный момент инерции и угловая

скорость в начальном положении звена приведения.

Алгебраическую сумму работ всех сил и моментов сил, приложенных к механизму, можно записать в виде разности работ приведенных моментов сил движущих

Уравнение (3.20) называется уравнением движения

однозвенной динамической модели в энергетической (интегральной) форме.