Задача 1.4. Максимальная прибыль универмага

Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа – костюмы широкого потребления (из полиэстровых смесей, шерстяные, хлопковые). Четвертый тип – дорогие импортные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджера опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, объем затрат на рекламу и площади в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа представлены в таблице:

Тип костюма	Прибыль, долл.	Время, ч	Реклама, у.е.	Площадь, м2
Полиэстер	35	0,4	2	1
Шерсть	47	0,5	4	1,5
Хлопок	30	0,3	3	1,25
Эластик	90	1	9	3

Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 ч в день, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100м на 60м. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15000 у.е.

1. Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?

2. Допустим, что менеджмент магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияло на прибыль магазина?

При ответе на следующие вопросы сохраняется ограничение (2):

3. Изменится оптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстрового костюма переоценена (недооценена) на 1 у.е.? на 2 у.е.?

4. Обоснуйте, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина:

– отдать в распоряжение отдела костюмов 400м² от отдела женской спортивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь 750 у.е. за последующие 90 дней;

– истратить дополнительно 400 у.е. на рекламу.

5) Если общее число закупленных костюмов не может превысить 5000 шт., то как такое ограничение повлияет на оптимальное решение?

Решение:

Целевая функция будет иметь следующий вид (требуется определить, сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль):

f(x) = 35x₁ + 47x₂ + 30x₃ + 90х₄ → max,

где х – количество костюмов какого-то типа,

коэффициенты при x – прибыль, получаемая от продажи одного костюма каждого типа.

Исходя из требований к средним затратам рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, объема затрат на рекламу и площади в расчете на один костюм каждого типа, ограничения будут иметь следующий вид:

0,4х₁ + 0,5х₂ + 0,3х₃ + х₄ ≤ 900 (т.к. 90дней × 10ч. = 900ч.)

2х₁ + 4х₂ + 3х₃ + 9х₄ ≤ 15000 (исходя из затрат на рекламу)

х₁ + 1,5х₂ + 1,25х₃ + 3х₄ ≤ 6000 (т.к. 100м × 60м = 6000м²)

x_1,2,3,4 ≥ 0.

Заносим данные условия в табл. Excel:

Диапазон ячеек А3:D3 содержит значения прибыли, получаемой от продажи одного костюма каждого типа. Ячейки F4:F6 содержат значения ограничений.

Для определения количества костюмов каждого типа, которое надо закупить, чтобы максимизировать прибыль, в ячейки столбца Е записываем следующие формулы:

В ячейку Е3: = СУММПРОИЗВ(A2:D2;A3:D3);

В ячейку Е4: = СУММПРОИЗВ(A2:D2;A4:D4);

В ячейку Е5: = СУММПРОИЗВ(A2:D2;A5:D5);

В ячейку Е6: = СУММПРОИЗВ(A2:D2;A6:D6).

Это позволит, изменяя ячейки строки А2:D2, определить необходимое количество костюмов каждого типа для закупки, максимизируя при этом прибыль магазина. Получаем:

Затем в меню выбираем диалоговое окно Поиск решения и вводим необходимые ограничения:

После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках строки А2:D2 были получены следующие результаты:

Ответ:

1) Для максимизации прибыли необходимо закупить костюмы следующим образом (ячейки А2:D2):

необходимо закупить только 3000 костюмов из хлопка (Х3), а остальные типы костюмов не закупать вообще.

2) Исходя из желания менеджмента закупить не менее 200 костюмов каждого типа, к уже имеющимся ограничениям добавим еще ограничение x_1,2,3,4 ≥ 200. Данные в Excel будут иметь следующий вид:

После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках строки А2:D2 были получены следующие результаты:

Видно, что при таком решении менеджмента прибыль магазина уменьшится на 90000 – 86400 = 3600 у.е.

3) Если прибыль от продажи одного полиэстрового костюма переоценена на 1 у.е., то оптимальное решение о закупке костюмов будет выглядеть так:

Аналогичные результаты получаются в случаях, если прибыль от продажи одного полиэстрового костюма переоценена на 2 у.е., недооценена на 1 у.е. и на 2у.е., т.е. количество костюмов на закупку остается неизменным, а изменяется только прибыль. В случае переоценки она падает, недооценки – возрастает:

4) Если отдать в распоряжение отдела костюмов 400м² от отдела женской спортивной одежды, т.е. общая площадь отдела костюмов составит 6000 + 400 = 6400м², то, как видно ниже, это решение совершенно не повлияет на прибыль магазина, она останется прежней. Следовательно, делать этого крайне не рекомендуется.

Дополнительные расходы на рекламу в размере 400 у.е. также не являются полезным решением для магазина, т.к., как видно ниже, прибыль от этого не изменится:

5) Если общее число закупленных костюмов не может превысить 5000 шт., то такое ограничение также не повлияет на оптимальное решение: прибыль останется прежней и количество костюмов для закупки также не изменится.

Для доказательства этого добавим к уже имеющимся ограничениям ограничение вида:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ ≤ 5000.

Получаем: