Задача 1.2. Оптимальный план производства

Фирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует две стадии сборки. Время (в мин.), необходимое для сборки на каждой стадии, приведено в таблице:

Продукт	Стадия 1	Стадия 2	Прибыль	Заказ
Модель А	2,5	2	82,5	20
Модель В	1,8	1,6	70	20
Модель С	2	2,2	78	20
Ресурсы	450	450

Оборудование на каждой стадии работает 7,5 часов в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Модель А даёт прибыль 82,5 руб. за шт.; модель В – 70 руб.; модель С – 78 руб. Фирма может продать всё, что производит, и, кроме того, у неё на следующую неделю есть оплаченный заказ на 60 шт. изделий (по 20 шт. устройств каждого типа).

1) Каков должен быть оптимальный производственный план?

2) Все ли типы моделей выгодно производить?

3) Если есть убыточная модель, то какие изменения надо внести, чтобы её производство стало выгодным? Попробуйте что-нибудь изменить в ценовой политике или увеличить время работы оборудования (за счет сверхурочных), так чтобы все модели стали выгодными. Опишите результаты ваших попыток.

4) Допустим, что вы можете установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль?

Решение:

Целевая функция будет иметь следующий вид (так как в задаче требуется получить максимум прибыли за следующие 5 рабочих дней (7,5 ч × 5 дней × 60 мин = 2250 мин), а нам известна прибыль от каждой модели):

f(x) = 82,5x₁ + 70x₂ + 78x₃ → max,

где х – план выпуска модели, коэффициенты при x – прибыль от модели.

Исходя из времени стадий обработки моделей, ограничения будут иметь следующий вид:

2,5x₁ + 1,8x₂ + 2x₃ ≤ 2250

2x₁ + 1,6x₂ + 2,2x₃ ≤ 2250

x_1,2,3 ≥ 20

x_1,2,3 ≥ 0.

Заносим данные условия в табл. Excel:

Диапазон ячеек А3:С3 содержит значения прибыли от каждой модели. Ячейки Е4:Е8 содержат значения ограничений. Для определения оптимального плана выпуска моделей в ячейки столбца D записываем следующие формулы:

В ячейку D3: = СУММПРОИЗВ(A2:C2;A3:C3);

В ячейку D4: = СУММПРОИЗВ(A2:C2;A4:C4);

В ячейку D5: = СУММПРОИЗВ(A2:C2;A5:C5);

В ячейку D6: = СУММПРОИЗВ(A2:C2;A6:C6);

В ячейку D7: = СУММПРОИЗВ(A2:C2;A7:C7);

В ячейку D8: = СУММПРОИЗВ(A2:C2;A8:C8).

Это позволит, изменяя ячейки строки А2:С2, определить оптимальный план.

Получаем:

Затем в меню выбираем диалоговое окно Поиск решения и вводим необходимые ограничения:

После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках строки А2:С2 были получены следующие результаты:

Решение с целочисленным ответом:

Ответ:

1) Из полученных данных видно, что оптимальный план выглядит следующим образом (ячейки А2:С2): необходимо производить изделий модели А 20 шт., модели В – 553 шт., модели С – 603 шт.

2) Выгодно производить модели В и С, модель А производить невыгодно.

3) Для того чтобы производство модели А стало выгодным, увеличим прибыль до 97,1 руб. от одного изделия, а также увеличить время работы оборудования за счет сверхурочных на на 1 стадии на 276,75 мин. и на 2 стадии на 202,4 мин.

В таком случае общая прибыль увеличится до 98371 руб., а план производства будет таков: А – 20 шт., В – 821 шт., С – 499 шт. Но, как видно, в такой ситуации все равно невыгодно производить модель А.

Если попытаться только увеличить прибыль от модели А без увеличения времени работы оборудования, то общая прибыль увеличится незначительно, а модель А по-прежнему будет невыгодна:

Увеличение времени работы оборудования тоже не даёт желаемого эффекта, даже если оборудование будет работать 24 часа 5 дней подряд, т.е. 7200 мин.:

Таким образом, изменения в ценовой политике или во времени работы оборудования не приносят требуемого эффекта, и модель А все равно невыгодно производить.

4) Если добавить 2 сверхурочных часа в день (2ч. × 60 мин. × 5дн. = 600 мин.) к первой стадии, то получим следующее:

Если добавить 2 сверхурочных часа в день (2ч. × 60 мин. × 5дн. = 600 мин.) ко второй стадии, то получим следующее:

Таким образом, мы видим, что для получения наибольшей прибыли необходимо установить эти сверхурочные часы для первой стадии, так как прибыль составила бы в таком случае 97972,5 руб., что на 97972,5 – 87446 = 10526,5 больше прибыли, получаемой при установлении этих часов для второй стадии. Но при этом в обоих случаях становится невыгодно производить 2 из трех моделей (в первом случае модели А и С, во втором – модели А и В)