Задача 2.9. О распределении работ

На предприятии имеется четыре группы станков, каждый их которых может выполнять любые из пяти видов элементарных операций по обработке деталей, причём операции могут производиться в любом порядке. Максимальное время работы каждой группы станков соответственно равно 320, 400, 240 и 400 час; каждая операция должна выполняться соответственно в течение 336, 224, 224,288 и 288 час.

Требуется определить, на какой операции и сколько времени использовать каждую группу станков, чтобы обработать максимальное число деталей, если производительность каждого станка группы задана матрицей С, где С_у – производительность станка i при выполнении операции j:

4 3 6 2 5

С = 3 4 3 5 2

2 5 4 3 4

3 6 5 4 3

К чему приведёт запрет на использование станков второй группы для выполнения операций первого типа?

Решение:

Для определения того, на какой операции и сколько времени использовать каждую группу станков, чтобы обработать максимальное число деталей, составим матрицу исходных значений. Для этого вводим в ячейки А11:А15 максимальное время работы каждой группы станков, при этом значение в ячейке А15 принимаем равным 0, для того чтобы получаемая матрица стала квадратной.

В ячейки В10:F10 заносим данные о длительности выполнения каждой операции. Диапазон ячеек В11:F15 содержит данные о производительности станка i при выполнении операции j, при этом значения ячеек В15:F15 принимаются равными 0.

Полученная таким образом матрица является матрицей исходных значений.

В данной задаче предполагается, что суммарные потребности равны суммарным запасам (модель закрыта), т.е. выполняется условие: .

Таким образом, экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:

(где c_ij – производительность станка (шт. деталей), x_ij – время выполнения операции) при ограничениях:

, i = 1, m;

, j = 1, n;

х_ij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n.

С учетом вышеназванных ограничений составим матрицу изменяемых значений. Для этого в ячейки А2:А6 записываем следующие формулы:

В ячейку А2: =СУММ(B2:F2);

В ячейку А3: =СУММ(B3:F3) и т.д.

В ячейки В7:F7 записываем следующие формулы:

В ячейку В7: =СУММ(B2:B6);

В ячейку С7: =СУММ(C2:C6) и т.д.

Ячейки диапазона В2:F6 можно оставить пустыми. В них после ввода необходимых условий и ограничений появятся искомые данные.

В ячейку В17 вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(B11:F15;B2:F6).

Получаем:

Затем в меню выбираем диалоговое окно Поиск решения и вводим необходимые ограничения:

После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках диапазона А2:F7 были получены следующие результаты:

Ответ:

При данном плане расстановки станков (ячейки В2:F6) максимальное число изготовленных деталей равно 6384 (ячейка В17).

Если ввести запрет на использование станков второй группы для выполнения операций первого типа, то необходимо добавить новое ограничение В3 = 0 и мы получим:

Как видно из таблицы, при введении запрета станки четвертой группы увеличивают производство на первой операции на 16 единиц, уменьшают производство на второй операции на 16 единиц, а на станки второй группы на первой операции уменьшена нагрузка в 112 единиц, зато на третьей и пятой возросла нагрузка на 64 и 48 единиц соответственно. Станки первой же группы увеличили производство на первой операции на 96 единиц, сократив тем самым производство полностью на операциях третьего и пятого типов.

Максимальное число произведенных деталей уменьшилось до 6160.