Задание №2 Задача 2.1. Задача коммивояжера
Коммивояжеру, находящемуся в Париже, необходимо посетить 3 города. Он получил информацию о стоимости перелета в каждый из выбранных городов из Парижа и стоимость перелета из одного города в другой. На основании полученных данных он составил матрицу стоимостей (см. табл.) перелета в выбранные города и обратно. И теперь ему надо так составить маршрут поездки, чтобы затраты на дорогу были минимальными и чтобы каждый пункт посещался только один раз.
Пункты |
Париж |
Берлин |
Рим |
Лондон |
Париж |
0 |
270 |
430 |
160 |
Берлин |
70 |
0 |
160 |
10 |
Рим |
200 |
130 |
0 |
350 |
Лондон |
210 |
160 |
250 |
0 |
Решение:
Для определения плана поездок, в котором затраты на поездки были бы минимальными, составим матрицу исходных значений. Для этого вводим в ячейки А10:А13 формулы, суммирующие ячейки соответствующих строк.
В ячейки В10:Е13 заносим данные о стоимости перелета в каждый из выбранных городов из Парижа и стоимость перелета из одного города в другой. Диапазон ячеек В9:Е9 содержит формулы, суммирующие значения в ячейках соответствующих столбцов.
Полученная таким образом матрица является матрицей исходных значений.
Таким образом, экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:
(где сij·xij
– стоимость
перелета) при ограничениях:
,
i = 1, m;
,
j = 1, n;
хij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n.
С учетом вышеназванных ограничений составим матрицу изменяемых значений. Для этого в ячейки А2:А5 записываем следующие формулы:
В ячейку А2: =СУММ(B2:Е2);
В ячейку А3: =СУММ(B3:Е3);
В ячейку А4: =СУММ(B4:Е4);
В ячейку А5: =СУММ(B5:Е5).
В ячейки В6:Е6 записываем следующие формулы:
В ячейку В6: =СУММ(B2:B5);
В ячейку С6: =СУММ(C2:C5);
В ячейку D6: =СУММ(D2:D5);
В ячейку E6: =СУММ(E2:E5).
Ячейки диапазона В2:Е5 можно оставить пустыми. В них после ввода необходимых условий и ограничений появятся искомые данные.
В ячейку В15 вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(B10:Е13;B2:Е5).
Получаем:
Затем в меню выбираем диалоговое окно Поиск решения и вводим необходимые ограничения:
После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках диапазона А2:Е6 были получены следующие результаты:
Ответ:
План перелетов, в котором затраты на эти перелеты являются минимальными, выглядит следующим образом:
Париж – Берлин,
Берлин – Рим,
Рим – Лондон,
Лондон – Париж.
Задача 2.2. Оптимальный план перевозок грузов
На трех станциях направления А, В и С имеется соответственно 50, 20 и 30 ед. однородного груза, который нужно доставить в 5 пунктов назначения согласно их потребителям. Эти данные, а также стоимость перевозки единицы груза от каждой станции отправления к каждому пункту назначения указаны в табл.:
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и их потребности |
||||
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
||
А |
50 |
4 |
1 |
2 |
3 |
3 |
В |
20 |
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
С |
30 |
5 |
6 |
1 |
4 |
2 |
|
|
30 |
5 |
25 |
15 |
25 |
Составить такой план перевозок грузов, чтобы затраты на эти перевозки были минимальными.
Решение:
Для определения плана перевозок грузов, в котором затраты на перевозки были минимальными, составим матрицу исходных значений. Для этого вводим в ячейки А11:А15 значения данных поставщика (его запасы груза), при этом значения в ячейках А14:А15 принимаем равными 0, для того чтобы получаемая матрица стала квадратной.
В ячейки В10:F10 заносим данные о потребностях потребителей каждого пункта назначения. Диапазон ячеек В11:F15 содержит данные о стоимости перевозки единицы груза от каждой станции отправления к каждому пункту назначения, при этом значения ячеек В14:F15 принимаются равными 0.
Полученная таким образом матрица является матрицей исходных значений.
В данной задаче
предполагается, что суммарные запасы
равны суммарным потребностям (модель
закрыта), т.е. выполняется условие:
.
Систему ограничений задачи получаем из следующих условий:
1) все грузы должны быть перевезены, т.е. , i = 1, m,
где хij – количество единиц груза, запланированное к перевозке от i-того поставщика к j-тому потребителю,
n – количество потребителей,
m – количество поставщиков.
2) все потребности должны быть удовлетворены, т.е. , j = 1, n.
Таким образом, экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:
(где сij·xij – стоимость перевозки) при ограничениях:
, i = 1, m;
, j = 1, n;
хij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n.
С учетом вышеназванных ограничений составим матрицу изменяемых значений, или матрицу перевозок. Для этого в ячейки А2:А6 записываем следующие формулы:
В ячейку А2: =СУММ(B2:F2);
В ячейку А3: =СУММ(B3:F3);
В ячейку А4: =СУММ(B4:F4);
В ячейку А5: =СУММ(B5:F5);
В ячейку А6: =СУММ(B6:F6).
В ячейки В7:F7 записываем следующие формулы:
В ячейку В7: =СУММ(B2:B6);
В ячейку С7: =СУММ(C2:C6);
В ячейку D7: =СУММ(D2:D6);
В ячейку E7: =СУММ(E2:E6);
В ячейку F7: =СУММ(F2:F6).
Ячейки диапазона В2:F6 можно оставить пустыми. В них после ввода необходимых условий и ограничений появятся искомые данные.
В ячейку В17 вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(B11:F15;B2:F6).
Получаем:
Затем в меню выбираем диалоговое окно Поиск решения и вводим необходимые ограничения:
После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках диапазона А2:F7 были получены следующие результаты:
Ответ:
План перевозок грузов, в котором затраты на эти перевозки являются минимальными, выглядит следующим образом:
Необходимо перевезти:
10 ед. груза от первой станции к первому пункту,
5 ед. груза от первой станции ко второму пункту,
15 ед. груза от первой станции к четвертому пункту,
20 ед. груза от первой станции к пятому пункту,
20 ед. груза от второй станции к первому пункту,
25 ед. груза от третьей станции к третьему пункту,
5 ед. груза от третьей станции к пятому пункту.
При этом минимальные расходы составляют 245 у.е.