Задача 2.5. Закрепление самолётов за воздушными линиями
Три типа самолётов требуется распределить между четырьмя авиалиниям. В приводимых ниже таблицах заданы число самолётов каждого типа, месячный объем перевозок каждым самолётом на каждой авиалинии и соответствующие эксплуатационные расходы.
Требуется распределить самолёты по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплутационных расходах перевезти по каждой из четырех авиалиний соответственно не менее 300, 200, 1000 и 500 ед. груза.
Тип самолета |
Число самолетов |
Месячный объем перевозок одним самолетом по авиалиниям |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
1 |
50 |
15 |
10 |
20 |
50 |
2 |
20 |
30 |
25 |
10 |
17 |
3 |
30 |
25 |
50 |
30 |
45 |
Тип самолета |
Эксплуатационные расходы |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
15 |
20 |
25 |
40 |
2 |
70 |
28 |
15 |
45 |
3 |
40 |
70 |
40 |
65 |
Решение:
Для определения того, как распределить самолеты по авиалиниям, чтобы суммарные эксплуатационные расходы были минимальными, составим матрицу исходных значений. Для этого вводим в ячейки А10:А13 значения числа самолетов, умноженное на месячный объем перевозок одним самолетом (суммарный объем перевозок, выполняемых максимальным количеством самолетов данного типа в месяц, значения максимальной предполагаемой мощности поставщиков), при этом значение в ячейке А13 принимаем равным 0, для того чтобы получаемая матрица стала квадратной.
В ячейки В9:Е9 заносим данные о потребностях в грузах. Диапазон ячеек В10:Е13 содержит данные по экплуатационным расходам, при этом значения ячеек В13:Е13 принимаются равными 0.
Полученная таким образом матрица является матрицей исходных значений.
В данной задаче предполагается, что суммарные запасы превышают суммарные потребности (модель открытая), т.е. выполняется условие: .
Систему ограничений задачи получаем из следующих условий:
1) все грузы должны быть перевезены, т.е. , i = 1, m,
где хij – количество единиц груза, запланированное к перевозке от i-того поставщика к j-тому потребителю,
n – количество потребителей,
m – количество поставщиков.
2) все потребности должны быть удовлетворены, т.е. , j = 1, n.
Таким образом, экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:
(где сij·xij – стоимость перевозки) при ограничениях:
, i = 1, m;
, j = 1, n;
хij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n.
С учетом вышеназванных ограничений составим матрицу изменяемых значений, или матрицу перевозок. Для этого в ячейки А2:А5 записываем следующие формулы:
В ячейку А2: =СУММ(B2:F2);
В ячейку А3: =СУММ(B3:F3);
В ячейку А4: =СУММ(B4:F4);
В ячейку А5: =СУММ(B5:F5).
В ячейки В6:Е6 записываем следующие формулы:
В ячейку В6: =СУММ(B2:B6);
В ячейку С6: =СУММ(C2:C6);
В ячейку D6: =СУММ(D2:D6);
В ячейку E6: =СУММ(E2:E6).
Ячейки диапазона В2:Е5 можно оставить пустыми. В них после ввода необходимых ус-ловий и ограничений появятся искомые данные.
В ячейку В15 вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(B10:Е13;B2:Е5).
Найдем матрицу перевозки грузов для всех поставщиков с условием минимизации издержек и ограниченности самолетов данного типа.
Введем условие для ограниченности самолетов.
, где Ci – фактический объем перевозок на i – ой авиалинии в месяц, j – ым типом самолета; сi – месячный объем перевозок одним самолетом; Z – количество самолетов данного типа.
Водим также дополнительные данные и получаем:
Дробное значение условия показывает что самолёт загружен не полностью.
С помощью нового условия можно составить матрицу распределения самолетов данного типа, где
|
Оптимальное распределение самолетов |
|||
50 |
20 |
0 |
20 |
10 |
20 |
0 |
8 |
12 |
0 |
16 |
0 |
0 |
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Доступное количество самолетов данного типа |
||||
Ответ:
При данном плане распределения самолетов определенного типа по каждой авиалинии с доставкой требуемого количества единиц груза, минимальные эксплуатационные, суммарные расходы равняются 61100 денежных единиц.