Задача 2.6. Транспортная задача
Менеджер транспортного отдела составляет план перевозок продукции фирмы в стандартных контейнерах на следующий месяц. Цены перевозок одного контейнера, величины заказов и запасы на складах даны в таблице.
Склады |
Клиенты |
Ресурсы |
||||||||
К1 |
К2 |
КЗ |
К4 |
К5 |
Кб |
К7 |
К8 |
К9 |
||
С1 |
14 |
7 |
10 |
7 |
3 |
12 |
7 |
2 |
14 |
7 |
С2 |
10 |
4 |
16 |
15 |
16 |
9 |
10 |
6 |
12 |
10 |
СЗ |
10 |
11 |
9 |
6 |
7 |
11 |
15 |
8 |
11 |
12 |
С4 |
9 |
12 |
3 |
8 |
5 |
17 |
16 |
17 |
13 |
8 |
С5 |
3 |
12 |
8 |
17 |
5 |
13 |
16 |
8 |
3 |
2 |
С6 |
13 |
9 |
11 |
5 |
17 |
7 |
17 |
17 |
16 |
5 |
С7 |
3 |
6 |
10 |
18 |
14 |
12 |
8 |
9 |
7 |
6 |
Заказ |
5 |
11 |
5 |
9 |
3 |
6 |
9 |
4 |
8 |
|
Имеются 9 заказов от 9 потребителей. Заказы в сумме превышают запас на складах С1,...,С7. Найти план перевозок, минимизирующий транспортные издержки. Как изменится план перевозки, если ввести запрет на перевозки с четвертого склада третьему клиенту?
Решение:
Для определения плана перевозок продукции фирмы в стандартных контейнерах, минимизирующего транспортные издержки, составим матрицу исходных значений. Для этого вводим в ячейки А15:А23 значения ресурсов, при этом значения в ячейках А22:А23 принимаем равным 0, для того чтобы получаемая матрица стала квадратной.
В ячейки В14:J14 заносим данные о заказах. Диапазон ячеек В15:J23 содержит данные о ценах перевозок одного контейнера, при этом значения ячеек В22:J23 принимаются равными 0.
Полученная таким образом матрица является матрицей исходных значений.
В данной задаче
предполагается, что суммарные потребности
превышают суммарные запасы (модель
открыта), т.е. выполняется условие:
.
Систему ограничений задачи получаем из следующих условий:
1) все грузы должны быть перевезены, т.е. , i = 1, m,
где хij – количество единиц груза, запланированное к перевозке от i-того поставщика к j-тому потребителю,
n – количество потребителей,
m – количество поставщиков.
2) все потребности должны быть удовлетворены, т.е. , j = 1, n.
Таким образом, экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:
(где сij·xij – стоимость перевозки) при ограничениях:
, i = 1, m;
,
j = 1, n;
хij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n.
С учетом вышеназванных ограничений составим матрицу изменяемых значений, или матрицу перевозок. Для этого в ячейки А2:А10 записываем следующие формулы:
В ячейку А2: =СУММ(B2:F2);
В ячейку А3: =СУММ(B3:F3) и т.д.
В ячейки В11:J11 записываем следующие формулы:
В ячейку В11: =СУММ(B2:B10);
В ячейку С11: =СУММ(C2:C11) и т.д.
Ячейки диапазона В2:J10 можно оставить пустыми. В них после ввода необходимых условий и ограничений появятся искомые данные.
В ячейку В25 вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(B15:J23;B2:J10).
Получаем:
Затем в меню выбираем диалоговое окно Поиск решения и вводим необходимые ограничения:
После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках диапазона А2:J11 были получены следующие результаты:
Ответ:
План перевозок, минимизирующий транспортные издержки, выглядит следующим образом:
5 заказов первого клиента удовлетворяется поставкой с седьмого склада,
10 заказов второго клиента удовлетворяется поставкой со второго склада,
1 заказ второго клиента удовлетворяется поставкой с седьмого склада,
5 заказов третьего клиента удовлетворяется поставкой с четвертого склада,
9 заказов четвертого клиента удовлетворяется поставкой с третьего склада,
3 заказа пятого клиента удовлетворяется поставкой с четвертого склада,
1 заказ шестого клиента удовлетворяется поставкой с третьего склада,
5 заказов шестого клиента удовлетворяется поставкой с шестого склада,
3 заказа седьмого клиента удовлетворяется поставкой с первого склада,
4 заказа восьмого клиента удовлетворяется поставкой с первого склада,
2 заказа девятого клиента удовлетворяется поставкой с третьего склада,
2 заказа девятого клиента удовлетворяется поставкой с пятого склада.
При этом транспортные издержки составят 248 у.е. (см. ячейку В25).
Если ввести запрет на перевозки с четвертого склада третьему клиенту, т.е. ввести дополнительное ограничение D5 = 0, то план перевозок изменится следующим образом:
После того, как были введены необходимые ограничения и параметры, в ячейках диапазона А2:J11 были получены следующие результаты:
Как видно из табл., при данном условии затраты увеличатся до 288 у.е., а третий клиент будет обслуживаться с третьего склада, что уменьшит поставки с третьего склада четвертому клиенту, недостатки в поставках четвертому клиенту будут обеспечиваться четвертым складом.