§ 60. Составление и оценка проектов планового и высотного геодезического обоснования

Проектирование геодезического обоснования ведется с учетом местных условий и размеров участка. Если в ходе проектирования соблюдены все основные рекомендации действующих инструкций, а полевые измерения проведены на соответствующем уровне точ­ности, то созданный проект отвечает поставленным требованиям — служить обоснованием крупномасштабных съемок, но в ряде слу­чаев в ходе такого проектирования в связи с учетом особенностей конкретного объекта приходится отступать от требований инструк­ций. Для обоснования таких отступлений всегда требуются соот­ветствующие расчеты по оценке возможных ошибок и качества гео­дезических работ.

1. Оценка проекта планового обоснования

В качестве примера рассмотрим проект сети, созданной на полу­открытую почти незаселенную местность, площадью около 25 км, предназначенной для съемки масштаба 1 : 1000. С учетом размеров территории плановое обоснование запроектировано в три ступени: а) триангуляция 4 класса; б) полигонометрия (аналитические сети) I разряда; в) теодолитные ходы.

Проект составлен на листе карты масштаба 1 : 25 000 согласно указаниям Инструкции СН 212—73 в отношении длин сторон (триангуляция и аналитические сети) и линий в полигонометрии; величин углов, длин и формы ходов (рис. 109).

Проект триангуляционной сети 4 класса представляет собой центральную систему с полюсом I, вынесенным за пределы основания А, II, III, IV, V, В. Сеть опирается на сторону АВ триангуляции II класса. На пунктах А и В имеются сигналы высотой до столика 20 м.

Задача оценки проекта сети сводится к нахождению ошибок, характеризующих отдельные элементы сети и сеть в целом, и к сравне­нию найденных ошибок с нормативными.

Из курса высшей геодезии известно, что для оценки триангу­ляционной сети можно применять специальные формулы: прибли­женные и строгие, а при желании оценка может быть выполнена на основе составления весовой функции.

Проекты инженерных триангуляционных сетей обычно предста­вляют собой частные сети; они состоят из сравнительно небольшого числа треугольников и оценка их может быть выполнена с вполне удовлетворительной точностью по формулам; составление весовых функций оправдано лишь для больших, сложных сетей, со многими связями.

Для оценки качества проекта сети необходимо уяснить, что в сети должно быть оценено: ошибка связующей стороны, ошибка передачи дирекционного угла или ошибка продольного и попереч­ного сдвига сети. Для ответа на этот вопрос необходимо иметь проект развития следующей ступени обоснования (в нашем случае полигонометрии I разряда).

Сеть полигонометрии состоит из одиночных ходов и систем поли­гонов с узловыми точками; она достаточно сложна по построению, однако важно, как располагаются полигонометрические ходы отно­сительно пунктов триангуляции?

Как отдельные ходы, так и системы с узловыми точками опи­раются только на смежные пункты триангуляции, связанные наблю­денными в триангуляции сторонами. Тем самым ошибки во взаим­ном положении смежных пунктов триангуляции (ошибки сторон) будут ошибками исходных данных по отношению к ходам полигоно­метрии и, следовательно, при оценке триангуляционной сети нужно прежде всего определить ошибку т_а слабой стороны. В противном случае пришлось бы определять ошибку взаимного положения несвязанных между собой и отдаленных одним или несколькими треугольниками пунктов, т. е. пришлось бы использовать формулы продольного и поперечного сдвигов или составлять функцию коор­динат.

Поскольку на угловую невязку в ходах полигонометрии влияют (как ошибки исходных данных) ошибки дирекционных углов сторон триангуляции, то полезно знать и эту ошибку — передачи дирек­ционного угла.

Ошибку связующей (слабой) стороны триангуляционной сети

находят по одной из формул: для цепи треугольников

для геодезических четырехугольников и центральных систем

Значения выбирают из специальных та­блиц по величинам связующих углов; т" — средняя квадратическая ошибка измеренного угла; — ошибка логарифма базиса.

Переход от относительной ошибки сторон (базиса) к ошибке логарифма стороны осуществляется по формуле, в которой

Ошибка передачи дирекционного угла определяется по формуле

где m_a — ошибка исходного дирекционного угла

п — номер треугольника, содержащего сторону, дирекционный угол которой оценивается.

Воспользуемся приведенными формулами для оценки качества проекта сети. В этой сети средняя квадратическая ошибка измерен­ного угла т" = 2"; относительная ошибка базисной стороны АВ равна (сторона II класса) или 2,2 ед. шестого знака логарифма; ошибка сходного дирекционного угла для локальной сети т_ао = 0.

В качестве слабой примем сторону /—IV. Для передачи длины используем треугольники А—B—I, I—B—V, I—V—IV; величины R для соответствующих связующих углов приведены в табл. 23.

Треугольники	№ углов	Величины углов	Таблица 23 R ед. шестого знака логарифма
A-I-B	(1+2+3+4+5) 6	141° 20	23
I-B-V	15 16	45 82	5
I—V—IV	13 14	82 72	1

Передача длины на сторону/—IV может быть выполнена вторич­но через треугольники А—В—/, /—А—//, /—//—111,1-—III—IV.

Вторичный подсчет дает величину, близкую к первой m\_g (i_rv)₂ = = 8,4 ед. шестого знака логарифма.

Среднее весовое значение будет равно

Относительная ошибка слабой стороны равна

Такая точность удовлетворяет требованиям, предъявляемым к сторонам триангуляции 4 класса. Единственным, но существенным недостатком рассмотренной триангуляционной сети следует считать наличие в ней только одной исходной (базисной) стороны — сто­роны триангуляции II класса.

Второй базис в сети необходимо иметь не столько с целью повы­шения точности, сколько для контроля масштаба сети. Такой кон­троль особенно необходим, когда в качестве исходных сторон при­нимают стороны сети ранее созданных триангуляции и когда не представляется возможности иметь достоверную характеристику точ­ности такой сети. При наличии второго специально измеренного базиса несогласие в длинах исходных сторон легко обнаруживается при составлении базисного условия.

Подсчитаем ошибку передачи дирекционного угла от стороны АВ на сторону /—IV

с учетом передачи дирекционного угла через вторую группу тре­угольников среднее весовое значение будет равно .

Оценим влияние этой ошибки на невязку в ходе полигонометрии.

Среднюю угловую невязку в полигонометрическом ходе I раз­ряда можно подсчитать по формуле

где средняя квадратическая ошибка измеренного угла, равная для полигонометрии I разряда 5"; п — число сторон в ходе. Для хода длиной [s] = 5 км при средней длине стороны s = 350 м

Ранее найденная величина составляет лишь 11% от величины средней невязки хода; такая величина ошибки исход­ных данных может считаться вполне допустимой.

Проект полигонометрической сети состоит из системы ходов с узловыми точками и нескольких одиночных, изогнутых ходов. При его составлении учитывались необходимая густота и равно­мерность в расположении пунктов, что необходимо для обеспечения Допустимых длин ходов съемочного обоснования.

Оценка отдельных элементов проекта полигонометрии может быть выполнена различными способами.

Для оценки одиночных ходов в случае, если стороны в них измерены электрооптическими дальномерами или параллактическим методом, следует воспользоваться одной из следующих формул для вытянутого хода

для изогнутого хода

где М — средняя квадратическая ошибка положения конечной точки хода относительно начальной (до уравнивании)

m_s — средняя квадратическая ошибка измеренной стороны хода;

п — число сторон;

• - средняя квадратическая ошибка измеренного угла;

• - длина диагонали от центра тяжести хода до очередной точки хода.

Произведем оценку проекта одиночного изогнутого хода В-88-89-…95-96-I (рис. 110) в предположении, что линии в ходе измеряют светодальномером или параллактическим способом средней квадратической ошибкой, не превышающей m_s = 2см, а углы =5’’. Так как ход изогнутый, то для расчета используем формулу (18). Графически найдем центр тяжести ЦТ хота и определим (табл. 24).

Полученную величину можно рассматривать как среднюю квадратическую ошибку положения конечной точки хода; предельная ошибка или невязка равна 2М = 0,204 м, а предельная отно­сительная ошибка хода

Сравнивая полученную относительную ошибку с предельной невязкой для ходов I разряда, .можно сделать заключение, что полученная величина выше требуемой (1:10 000), что, вероятно, следует объяснить отчасти небольшой величиной (2 см) принятой

ошибки измерения линии, а отчасти тем, что для расчета был взят ход, имевший длину менее предельной (5 км). Итак, точность оцененного хода вполне допустима.

Для предварительной оценки системы полигонометрических ходов можно также применить различные способы, например способ по­следовательных приближений, разработанный Н. Г. Романовым и описанный в учебнике проф. Н, Н. Лебедева «Курс инженерной геодезии», способ эквивалентной замены, разработанный проф. А. С. Чеботаревым и дополненный доц. Д. G. Шейным [58].

Применим способ эквивалентной замены для оценки проекта системы ходов, опирающихся на пункты триангуляции /, А, II, III. Воспользуемся общим методом эквивалентной замены, который позволяет производить замену не только ходов, имеющих одну или две общие точки, но и три, т. е. произвести переход от треу­гольника к трехлучевой звезде.

Для вычисления длин эквивалентных ходов при переходе от треугольника к звезде (рис. 111) рекомендуются формулы

Обратный переход от звезды к треугольнику делается по формулам, конструктивно схожим

(19’)

Оценку проекта полигонометрической сети начнем с предвари тельного подсчета средних квадратических ошибок М по отдельным

ходам сети; при этом будем считать, что измерения вы полнены с ошибками m_s = 2 см, =5". Результаты этих подсчетов приведены в табл. 25.

За вес примем величины, обратные квадратам средних квадратических ошибок, т.е.

= ; за ошибку единицы веса примем величину см. , которая соответствует ошибке конечной точки хода (по отношению к начальной) длиной 1 км, состоящего в среднем из трех сторон (п = 3). На рис. 11 в кружках выписаны коэффициенты [s], дающие отношение между квадратом ошибки единицы веса и квадратом ошибки М² конечной точки хода иной длины. Косвенно эти коэффициенты (при заданной точности измерения углов и линий) характеризуют условную длину каждого хода. Приняв это к сведению, приступим к подсчетам.

Таблица 25

№ ходов	[Si] В М	Число сторон п
1-11 11—14 11—23 14-23 14—59 III—23 III—30 30-59 II-30 Л—59 П-59	560 1000 1000 750 1530 2000 730 1140 1440 980 1900	2 3 2 2 3 5 2 3 3 3 5	8 12 8 8 12 20 8 12 12 12 20	0,8 2,9 2,4 1,4 6,9 15,7 1,3 3,8 6,1 2,8 14,1	8,8 14,9 10,4 9,4 18,9 35,7 9,3 15,8 18,1 14,8 34,1	0,59 1,00 0,70 0,63 1,27 2,39 0,62 1,06 1,22 0,99 2,29

Произведем последовательные замены отдельных систем ходов эквивалентными им системами и сведем всю сеть к одиночному ходу, но прежде всего установим те ходы, в пределах которых пред­полагается наиболее слабое место нашей сети.

Ориентируясь на длины ходов и положение исходных пунктов, можно предположить, что слабое место будет находиться либо в ходе, проложенном между пунктами 14 и 59, либо в ходе, проло­женном между пунктами 111—23. Правильность первоначальной догадки можно проверить несколькими пробными расчетами.

При этом должно оказаться, что слабое место попадает на ход, не тро­нутый преобразованием (на рис. 113 показан сплошной линией), а длина эквивалентного хода оказывается максимальной в сравне­нии с другими вариантами.

Преобразование сети начнем с замены двух полигонов между точками 11, 14, 23 и II, 30, 59, эквивалентными им трехлучевыми звездами с условными узловыми точками Х₁ и Х₂. Подсчет услов­ных длин эквивалентных ходов выполним по формулам (19) и по­местим в табл. 26 и 27.

После замен полигонометрическая сеть приобрела вид, изобра­женный на рис. 113, а.

Для последующего решения задачи условно разделим пункт III на два самостоятельных, находящихся на «нулевом расстоянии». К каждому из этих пунктов подходит лишь по одному ходу. Такое Разделение не нарушает строгости решения при условии, если оно Делается на опорном пункте.

Узловая Х1
№ точек	S	S’
11 14 23	0,63 0,70 1,00	0,30 0,27 0,19

[s] = 2,33

Узловая Х2
№ точек	S	S’
30 59 II	2.27 1.22 1.06	0.28 0.53 0.61

[s] = 4,55

Во вновь образованной сети (рис. 113, б) заменим эквивалентными две пары ходов, сходящихся в точках х₁ и х₂. Подсчет условных длин эквивалентных ходов произведем по известной формуле

Произведя последнюю замену ходов А—59 и II (III) —59 эквивалентным ходом А (//, ///), 59

(рис. 113, в),

получим одиночный ход (рис. ИЗ, г) общей условной длиной S_ЭКВ = 0,66 + 0,27 + + 1,27+0,47 = 2,67; в итоге окончательная длина эквивалентного хода, соединяющего исследуемую точку Е с исходным пунктом, составит

Из рис. 113, г можно убедиться, что середина хода приходится на сохраненный нетронутым участок хода между точками 14-59, что, казалось бы, свидетельствует о правильности первоначального выбора слабого места. Однако повторный расчет (он не приводится), построенный на предположении, что слабое место сети находится в ходе III-23, показал что длина эквивалентного хода, соединяющего исследуемую точку Е с исходным пунктом, в этом случае будет несколько больше s_3KB = 0,77, и, следовательно,

именно этot ход и должен рассматриваться как наиболее слабый и должен быть принят для оценки проекта. Ошибка М_1-Е конечной точки этого эквивалентного хода будет

равна

Так как длина хода равна 770 м, то средняя относительная ошибка

Будет

а предельная относительная ошибка

что вполне соответствует допустимой невязке хода I разряда

(1 : 10 000).

Последней ступенью планового обоснования являются теодолит­ные ходы. С точек теодолитных ходов при помощи мензулы или тахеометра ведут съемки рельефа и ситуации и потому их густота и расположение должны обеспечивать беспрепятственное производ­ство съемочных работ на всей территории без пропусков и «окон».

Проект съемочных-теодолитных ходов для рассматриваемого примера показан на рис. 109. Чтобы не перегружать рисунок, проект выполнен на части территории.

Предварительную оценку проекта сделаем методом последователь­ных приближений [27]. Подсчеты начнем с вычисления ошибок М по отдельным ходам (табл. 28). Примем среднюю квадратическую ошибку измеренного угла = 0,5', среднюю относительную ошибку линейных измерений m_s/s = 1 : 3000 (линии измеряют оптическим дальномером), что при средней длине линии в ходе S_ср = 200—250 м даст ошибку m_s = 7 см. За вес определения поло­жения точки по ходу примем .

Для уяснения хода последующих вычислений повторим основ­ные положения способа приближений.

ТАБЛИЦА 28

В первом приближении ошибки узловых точек находятся в предположении, что все ходы идут от твердых пунктов и поэтому ошибки положения этих пунктов равны нулю. Во втором приближении ошибки опорных пунктов снова принимаются равными нулю, а ошибки узловых точек — равными их значениям, полученным из первого приближения. В третьем приближении ошибки узловых точек принимают равными ошибкам, найденным из второго приближения и т. д. Вычисления делают до тех пор, пока ошибки в двух последних приближениях окажутся равными. Для этого обычно тре­буется два-четыре приближения (табл. 29).

Окончательная сводка результатов приведена в табл. 30, в последнем столбце которой можно видеть, что только три хода имеют ошибки,

несколько превышающие допуск (1 : 2000). Это, очевидно, связано с малой длиной ходов. Ожидаемая точность всех остальных ходов удовлетворяет поставленным требованиям.

На открытой местности плановые сети можно сгущать не только проложением теодолитных ходов, но и проектированием цепочек аналитических осей (микротриангуляции). Отдельные цепи микро­триангуляции должны опираться на пункты или стороны полигонометрии, а в самостоятельных сетях — на специально измеренные

базисы ;длина сторон в сети должна быть того же

порядка, что и в теодолитных ходах 100—300 м; точность измере­ния углов 0,5'.

Если съемку участка предполагается вести стереотопографическим или комбинированным методом, сплошную сеть теодолитных ходов или аналитическую сеть можно частично заменять локальными определениями положения отдельных пунктов (опознаков) прямыми и обратными угловыми засечками.

2. Оценка проекта высотного обоснования

На территории участка, изображенного на рис. 114, и вблизи него реперы нивелирования II и III классов отсутствуют; триангу­ляционные пункты А и В имеют отметки в Балтийской системе

высот, полученные из нивелирования IV класса. Учитывая это и размеры территории, высотное обоснование будем создавать в две ступени: в виде опорных ходов нивелирования III класса и ходов сгущения IV класса.

Если ход III класса проложить по периметру участка и сов­местить его с соответствующими ходами полигонометрии, то сум­марная длина хода будет около 21 км, т. е. больше допустимой (15 км), поэтому дополнительно внутри общего полигона проложим еще три хода, сходящиеся в узловой точке 33.

Произведем оценку проекта созданной высотной сети, приняв за вес , где L — длина хода в километрах, а за ошибку единицы веса = 4 мм; в качестве исходного примем пункт триангуляции I, который сравнительно симметрично расположен по отно-шению к общему контуру участка.

Выписав на схему рис. 114 проектные длины ходов и пользуясь методом эквивалентной замены, определим слабое место в сети (т. Е) и длину эквивалентного хода. Проделав это дважды (вычисле­ния не приводим) в предположении, что слабое место находится в ходе IV—V—B—I(Е₁)и в ходе II—III (Е₂), можно установить, что в первом случае длина эквивалентного хода равна =2,9 км, а во втором = 3,4 км, поэтому слабое место в сети следует считать находящимся в ходе II—III. Длина этого хода была найдена двукратной заменой трехугольников звездами с узловыми точками Х₁ и Х₂и заключительной заменой полигона Х₂,, Х₁ , 59, //, ///, IV одиночным ходом. Окончательная длина эквивалентного хода = 3,4 км. Средняя квадратическая ошибка M_E2 отметки точки (Е₂) в конце хода по отношению к исходному пункту I будет равна

Полученная величина ошибки, даже если учесть, что при пере­ходе к предельной ошибке она удвоится (15 мм), оказывается вполне допустимой. В этом можно убедиться, если сравнить ее с предельной невязкой нивелирного хода III класса, подсчитанной для предель­ной (15 км) длины хода

Таким образом, проект нивелирной сети III класса может быть признан удовлетворительным.

Нивелирные ходы IV класса предназначены для сгущения сети высотных точек на участке. Эти точки в последующем будут использоваться для передачи отметок на пикетные точки — при рисовке рельефа и для выноса на местность проектных отметок — при строительстве сооружений.

Нивелирные ходы IV класса в первую очередь прокладывают по точкам полигонометрии I разряда, а также дополнительно в местах, где густота сети высотных точек оказывается недостаточной для съемочных и разбивочных работ.

Рисовка рельефа при съемке не требует высокой точности, ошибка в отметке пикета в равнинной местности относительно ближайших реперов может достигать 1/5 высоты сечения рельефа, т. е. порядка 10—20 см. Более жесткие требования к высотной основе предъявляются при строительстве, особенно к взаимному высотному положению соседних реперов, так как именно от ближайших реперов осуществляется вынос в натуру проектных отметок зданий, дорог,

коммуникаций и т. д.

Для решения большинства инженерных задач достаточно, если отметки соседних реперов, расположенных на расстоянии 0,5— 1 км, определены с ошибкой, не превышающей 3 см. Если принять эту ошибку за предельную невязку хода, можно подсчитать предель­ную длину хода IV класса

Поскольку полученная длина оказалась вдвое больше требуемой, то можно считать, что ходы IV класса в состоянии обеспечить разбивочные работы при строительстве сооружений. Здесь лишь нужно иметь в виду, что вынос в натуру проектных отметок часто осуще­ствляется от реперов не одной какой-то линии, а также от реперов, включенных в различные ходы. Поэтому на площадных объектах ходы нивелирования IV класса, как правило, представляют не оди­ночные ходы, а систему ходов, которая должна уравниваться как единая сеть между реперами более высокого класса или (на неболь­ших площадках) как единая частная сеть.