3.2.2. Метод преобразований Фурье

Метод преобразований Фурье частично рассматривался в главе 5 применительно к получению плоскостных изображений. Будет полезно еще раз вернуться к обсуждению его особенностей применительно к ОФЭКТ.

Данные ЯМ, полученные в пространственном домене (рис. 7.13,а), могут быть выражены в частотном домене как сумма рядов синусоидальных волн разной амплитуды, пространственной частоты и фазовых сдвигов (рис. 7.13,б). Таким образом, данные каждой строки и каждого столбца матрицы набора возможно представить в виде подобной суммы. Процесс определения амплитуд синусоидальных волн называется преобразование Фурье, а процесс преобразования из частотного домена в пространственный называется обратным преобразованием Фурье.

Рис. 7.13. Представление объекта в пространственном и частотном доменах [8]

Реконструкция изображений методом Фурье может проводиться двумя способами: или непосредственно, или используя фильтрацию. В прямом подходе преобразования Фурье отдельных набранных проекций выполняются в полярной системе координат частотного домена. Полученные результаты затем используются для расчета значений в декартовой системе координат. К последним для получения изображения применяется уже обратное преобразование Фурье. Такой способ не есть, строго говоря, обратное проецирование и редко используется для реконструкции изображений из-за большой трудоемкости.

Более удобным способом реконструкции является фильтрованное обратное проецирование, используя метод Фурье (ФОПФ, англ. FBP). В этом случае для устранения размытия, описываемого функцией 1/r, которое возникает при простом обратном проецировании, применяется фильтрация. Фильтрация выполняет модуляцию амплитуд разных частот, сохраняя широкие структуры изображения, представляемые низкими частотами, и уменьшая амплитуду или совсем устраняя мелкие структуры, представляемые высокими частотами. Если обозначить двумерное преобразование Фурье функции f(x,y) (см. формулу (7.4)) через F(ν_x,ν_y), а функцию пропускания фильтра через H(ν), то процедура фильтрации математически записывается в виде

(7.5)

Далее к применяется обратное преобразование Фурье для получения фильтрованных проекций, которые затем обратно проецируются. Изображения, получаемые методом фильтрованного преобразования Фурье примерно эквивалентны изображениям, получаемым методом свертки, но современные компьютеры, применяя методику быстрых преобразований Фурье, выполняют реконструкцию изображений методом фильтрованных преобразований Фурье значительно быстрее. Наиболее широко используемые в ЯМ фильтры были рассмотрены ранее в главе 5.

3.3. Метод итеративной реконструкции

Основной принцип итеративной реконструкции заключается в сравнении измеренного изображения с оцененным изображением. Сравнение повторяется, пока не будет достигнуто удовлетворительное согласие. На практике первоначальная оценка создается из отдельных пикселей в проекции реконструированной матрицы такого же размера как матрица набора, и далее проекция сравнивается с измеренным изображением. Если оцененные пиксельные значения в проекции меньше или больше чем измеренные значения, тогда каждое пиксельное значение подправляется по отношению к другим пикселям в проекции для получения новой версии оцениваемой проекции. Последняя затем сравнивается с измеренной проекцией. Процесс повторяется до тех пор пока, не будет получено удовлетворительное согласие между оцениваемом и истинным изображением. Схематическое представление реконструкции изображений итерационным методом показано на рис. 7.14. Итерационный метод связан с большим количеством вычислений, поэтому до последнего времени редко применялся на практике. С появлением в клиниках мощной компьютерной техники ситуация изменилась, особенно популярным этот метод стал при реконструкции изображений в ПЭТ.

В качестве начального приближения для оценочного сравнения часто выбирается однородное изображение (например, все пиксели равны 0, 1 или средней величине). Изображение далее разворачивается (unfolded) в ряд проекций. Этот процесс, в противоположность к обратному проектированию, называется "прямое проектирование". В нем проводится определение взвешенной суммы активностей во всех пикселях в проекции поперек оцененного изображения. Как показано на рис. 7.15, проекция q_i в оцененном изображении рассчитывается в виде

(7.6)

где C_j – число отсчетов (активность) в j-пикселе; a_ij – вероятность, что эмиссия из пикселя j будет зарегистрирована в i-проекции. Вес a_ij равен доли активности в j-пикселе от полной активности вдоль j-проекции.

Если p_i есть измеренная проекция, то погрешность рассчитывается как разность (p_i – q_i) или как отношение p_i/q_i. Эта погрешность ((p_i – q_i) или p_i/q_i) в виде весовых факторов затем включается во все пиксели (N) вдоль i-проекции в соответствии с выражениями

(7.7)

где ΔC_j – погрешность, вводимая в j-пиксель i-проекции. Отметим, что при расчете погрешности учитываются только пиксели, принадлежащие данной проекции. Однако, в действительности, все пиксели изображения имеют конечную вероятность создать вклады в отсчеты любого пикселя в любой проекции, и поэтому расчет погрешностей является время затратным процессом.

Рис. 7.14. Принципиальная схема итерационного метода реконструкции изображений

Рис.7.15. Иллюстрация расчета проекции q_i оцененного изображения, представляющей сумму отсчетов во всех пикселях C_j

На практике используются три способа расчета и применения поправок на наличие погрешностей. В методике простой итерации (точка-за-точкой) рассчитываются погрешности, обусловленные всеми пикселями из всех проекций, проходящих через конкретный пиксель, и результаты используются для корректировки числа отсчетов в этом пикселе, прежде чем перейти к следующему пикселю. В методике проекция-за-проекцией погрешность рассчитывается для каждой проекции, и изображение корректируется перед переходом к следующей проекции. В методике одновременной итерации погрешность определяется для всех проекций и затем используется для одновременной корректировки изображения.

Отличительные особенности итерационного метода реконструкции изображений по сравнению с методом фильтрованного обратного проецирования заключаются в практическом отсутствии в изображениях артефактов, что достаточно часто наблюдается при реконструкции изображений последним методом, и в лучшем значении отношения сигнал/шум в низкоконтрастных областях.