2. Распространение (передача) ошибок

При выполнении арифметических операций с переменными, имеющими статистическую погрешность, результат вычислений также будет содержать статистическую погрешность. Величина этой погрешности зависит от вида операции и от погрешностей участвующих в операции переменных. Пусть в операции участвуют две переменные u и v, имеющими неопределенности σ_u и σ_v, соответственно. Погрешность результата арифметических операций с этими переменными представлена в табл. 2.2. Для каждой операции неопределенность результата выражена двояко: первый представляет общий случай, правильный для всех типов переменных; второй соответствует случаю, когда u и v являются пуассоновскими переменными, т.е. когда σ_u = u^1/2 и σ_v = v^1/2. Другими словами u и v представляют результат измерения числа отсчетов.

Таблица 2.2

Передача погрешностей в арифметических операциях

Операция		Обший случай	Распределение Пуассона
Умножение на константу	Y= cu
Сложение	Y = u +v
Вычитание	Y = u - v
Умножение	Y = u×v
Деление	Y = u/v

Учитывая, что многие задачи, встречающиеся в статистике отсчетов, имеют дело со скоростями счета, целесообразно привести сводку полезных формул, относящихся к этой области (табл. 2.3)

2. Тестирование гипотез

Методы статистики позволяют сделать заключения о результатах экспериментов даже при наличии в них случайных погрешностях. Один из часто применяемых статистических методов – это тестирование гипотез. Простейший случай тестирования состоит в выборе из двух альтернатив. Например, требуется решить, являются ли количества отсчетов в двух районах изображения результатом разного усвоения (РФП)? Одна гипотеза предполагает, что плотности отсчетов в этих районах представляют выборки из одного и того же распределения вероятностей. Эту гипотезу называют нулевой гипотезой. Альтернативная гипотеза предполагает, что плотности отсчетов являются выборками из разных распределений.

Таблица 2.3

Часто используемые формулы статистики отсчетов

№	Ситуация	Формула
1	Неопределенность, связанная с N отсчетами	σN = N1/2
2	Относительная погрешность (δ(%)), связанная с N отсчетами	δ(%) = 100% × N1/2/N
3	Число отсчетов, необходимых для получения заданной относительной погрешности (δ(%))	N = 10000/ δ2(%)
4	Неопределенность, связанная со скоростью счета (R), определенной за время t	σR = (R/t)1/2, R = N/t
5	Относительная погрешность, связанная со скоростью счета (R), определенной за время t	δ(%) = 100% × (1/Rt)1/2
6	Время, необходимое для получения скорости счета (R) с заданной относительной погрешностью (δ(%))	t = 10000/[R δ2(%)]
7	Неопределенность, связанная с чистой скоростью счета (Rs), определенной за время ts+b*
8	Относительная погрешность, связанная с чистой скоростью счета (Rs) для ts+b= tb = t	δ(%)=100%× [(Rs+2Rb)/t]1/2/Rs
9	Время (t), необходимое для получения скорости счета (Rs) с заданной относительной погрешностью (δ(%)) для ts+b= tb = t	t = 10000 × [(Rs+2Rb)/[ Rs2× × δ(%)]
10	Оптимальное разделение времени счета	ts+b/tb = (Rs+b/Rb)1/2

* R_s+b – скорость счета, включая фон;

R_b – скорость счета фона;

R_s – чистая (без фона) скорость счета;

t_s+b – полное время измерения источника;

t_b – время измерения фона.

Чтобы решить задачу предположим, что нулевая гипотеза правильная. Тогда может быть вычислена вероятность случайного получения наблюдаемого измеренного значения. Если эта вероятность очень мала, тогда будет оправданно отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную. Вероятностный предел отбрасывания нулевой гипотезы называют уровнем значимости и обозначают α. В типичных случаях его значение берут равным 0,05 или 0,01.

Так как принятие решения основывается здесь на вероятности, то существует конечная вероятность ошибки. Эти ошибки делятся на два типа. Ошибка I типа имеет место при отбрасывании нулевой гипотезы, когда, на самом деле, она является правильной. Примером такой ошибки будет заключение, что плотности отсчетов, измеренные в разных районах однородного изображения, отражают реальное различие вместо случайной вариации. Минимизировать ошибку I типа можно с помощью выбора подходящего уровня значимости. Ошибка II типа имеет место, когда нулевая гипотеза принимается за истину, в то время, как в действительности, она ложна. Чаще всего такая ошибка совершается при недостаточном количестве надежных данных.

Для большей ясности рассмотрим пример. Пусть скорость счета, создаваемая источником А равна 100 отсчетов в секунду, а скорость счета, создаваемая в тех же условиях источником В, равна 110 отсчетов в секунду. Можно ли считать, что оба источника имеют одинаковую активность, если скорости счета измерялись в течение10-секундного временного интервала?

В нулевой гипотезе предполагается, что оба источника имеют одинаковую активность, и поэтому разность между измерениями должна иметь распределение со средним значением 0. Используя формулы из табл. 2.2, имеем

B –A = (110 – 100) ± (110/10 + 100/10)^1/2 =10 ± 4,6.

Таким образом, измеренная разность равна 10 со стандартным отклонением 4,6. Так как ожидаемое значение разности есть 0, то 10 представляет 10/4,6 = 2,7 стандартных отклонения. Вероятность получения такого различия, когда А и В имеют одинаковую активность, равна 0,05. Если принято значение уровня значимости α=0,05, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута. Однако если принять более жесткий критерий α = 0,01, тогда нулевую гипотезу отбрасывать нельзя.

А что произойдет, если время измерения будет равно 39 с? Тогда стандартное отклонение окажется равным (110/36 +100/36)^1/2 =2,42. Теперь разность между скоростями счета 10 будет равно 4,1 стандартных отклонений от 0, а вероятность получения такого значения окажется меньше чем 0,01. В такой ситуации можно с высокой степенью точности утверждать, что активности источников А и В различны. Если же время измерения сократить до 1 с, то значение стандартного отклонения окажется равным (100/1 +110/1)^1\2 =14,5. В этом случае разность отсчетов 10 находится в пределах одного стандартного отклонения от 0, и нельзя утверждать, что активности источников А и В различны. Подчеркнем, что данный вывод не означает реального равенства активности источников, а является следствием неудачного выбора времени измерения, чтобы доказать обратное.