3.2. Обратное проецирование с фильтрацией
МПОП имеет проблему "звездообразных" артефактов (рис. 7.10.в), вызываемых проникновением излучения со смежных областей с увеличенной активностью (англ. "shining through"). В результате происходит размытие изображения объекта. Так как эффект размытия уменьшается с увеличением расстояния r от объекта интереса, то его допустимо приближенно описать функцией 1/r (рис. 7.10,г). Возникновение "звездообразных" артефактов можно рассматривать как "переливание" определенного количества отсчетов из пикселя интереса в соседние пиксели. Эффект размытия возможно минимизировать, применяя фильтрацию к данным в матрице набора, и уже фильтрованные проекции включать в процесс обратного проецирования. Такой подход называется обратным проецированием с фильтрацией. Он имеет два математических метода реализации: метод свертки в пространственном домене и метод преобразований Фурье в частотном домене. Остановимся на них подробнее.
3.2.1. Метод свертки
Размытие реконструированных
изображений, имеющее место при МПОП, в
значительной степени устраняется с
помощью свертки, в которой функция,
называемая "ядром", сворачивается
с данными проекции и полученный результат
подвергается обратному проектированию.
Применение ядра является математической
операцией, которая существенно удаляет
1/r особенность,
беря некоторую часть отсчетов из соседних
пикселей и перенося их в центральный
пиксель интереса. Формально математически
свернутое изображения
записывается
в виде
(7.4)
где
–
пиксельная плотность счета в локализации
в набранной проекции;
hi,j
– весовой фактор ядра свертки.
Для уменьшения статистических флуктуаций в ЯМ широко используется введенный ранее (глава 5) девятиточечный сглаживающий фильтр (3 × 3 размер). Смысл этого приема заключается в усреднении числа отсчетов в каждом пикселе в соответствии с числом отсчетов в соседних пикселях в матрице набора данных. Пример применения девятиточечного сглаживающего фильтра показан на рис. 7.11. Пусть необходимо сгладить в матрице набора пиксель с числом отсчетов 5. Предположим, что свертывается 3 × 3 матрица набора (такого же размера как матрица ядра), центрированная на выбранном пикселе. Каждая исходная величина пикселя этой матрицы умножается на соответствующий весовой фактор и результаты суммируются. Весовые факторы вычисляются делением индивидуальных пиксельных значений матрицы ядра на сумму всех пиксельных значений матрицы. В результате данной операции значение числа отсчетов в пикселе изменилось с 5 на 3. Таким же образом сглаживаются значения, накопленные во всех пикселях матрицы набора.
Рис. 7.11. Иллюстрация методики сглаживания в пространственном домене с девятиточечным сглаживающим ядром [8]
Пространственное ядро, описанное выше и имеющие все взвешивающие факторы положительными, уменьшает шум, но одновременно ухудшает пространственное разрешение. Резкие края в исходном изображении размываются в результате такой операции сглаживания.
Другой вид ядра, часто используемый в пространственном домене, состоит из узкого центрального пика с положительными и отрицательными значениями по обеим сторонам пика (рис. 7.12).
Рис.7.12. Фильтр в пространственном домене. Отрицательные значения по бокам центрального максимума уменьшают нежелательные вклады, которые ведут к размытию реконструированного изображения [8]
Когда этот так называемый "обостряющий края" фильтр применяется центрально к пикселю для корректировки, отрицательные значения нейтрализуют или исключают вклад от плотности отсчетов в соседних пикселях. Такая процедура повторяется для всех пикселей, после чего скорректированные данные включаются в процесс обратного проецирования. Метод воспроизводит первоначальное изображение с лучшим пространственным разрешением, но увеличивается шум. Отметим, что размытие, обусловленное МПОП, данным методом устраняется, однако шум, присущий набору данных вследствие ограничений пространственного разрешения визуализационного устройства не уменьшается, а скорее увеличивается.