3. Оптимизация конструкции коллиматоров с параллельными каналами

Выбор оптимального коллиматора диктуется кругом клинических задач, для выполнения которых он предназначается. Главным фактором для КПК, определяющим его конструкцию, является компромисс между чувствительностью и разрешением. Методика оптимизации, разработанная в работе [1] и описываемая в настоящем разделе, предполагает, что разрешение коллиматора определено, исходя из клинических требований. Поэтому задача оптимизации заключается в получении максимальной чувствительности без ухудшения изображения.

Строго говоря, рассматриваемая стратегия оптимизации разработана для коллиматоров с гексагональными каналами. Однако стратегия практически не связана с формой каналов. Изменение формы влияет только на величину отдельных коэффициентов.

Как отмечалось ранее, геометрия коллиматора специфицируется тремя геометрическими параметрами (T, D, HOLSEP) и масштабируемыми параметрами (T, α, β). Таким образом, поиск оптимума ведется в 3-мерном пространстве. Конструкцию коллиматора и его изобразительные качества в терминах геометрических параметров определяют два уравнения и два неравенства. Разрешение коллиматора специфицируется FWHM точечного источника, расположенного на расстоянии F от передней поверхности коллиматора. Ранее было получено, что

(4.11)

чувствительность коллиматора равна

(4.12)

и коллиматор не создает артефакты прохождения, если выполняется неравенство

(4.13)

Кроме того, изображение не содержит структуры каналов, если выполняется неравенство

(4.14)

где ξ_min – минимально допустимое значение параметра конфигурации отверстий коллиматора (обычно между 0,5 и 1,0). Неравенство (4.14) вытекает из выражения (4.8) в случае, когда размеры источника много больше, чем внутреннее разрешение гамма-камеры.

Уравнения (4.11) и (4.12) и неравенства (4.13) и (4.14) обеспечивают всю информацию, необходимую для оптимизации. Для удобства введем параметр τ_Hex как характеристическую толщину коллиматора

(4.15)

которая зависит только коэффициента ослабления коллиматора и, следовательно, от энергии фотонов. На рис. 4.8 приводится для свинца и вольфрама зависимость этой величины от энергии фотонов.

Рис. 4.8. Зависимость характеристической толщины коллиматора τ_Hex от энергии фотонов для свинца и вольфрама [1]

Преобразуя неравенства (4.13) и (4.14), получим

(4.16)

Верхний предел неравенства (4.16) следует из неравенства (4.15) и нижний предел – из комбинации неравенства (4.14) и уравнения (4.11). Чувствительность, описываемая уравнением (4.12), принимает максимальное значение, если отношение (α/β) приравнять верхнему пределу в неравенстве (4.16). Так как α определяется разрешением, и β определяется критерием проницаемости, то оба параметра можно выразить в виде функций T. В результате диаметр каналов D и расстояние между каналами HOLSEP также выражаются в виде функции толщины коллиматора

(4.17)

(4.18)

Выражение (4.18) в явном виде показывает, что оптимальный коллиматор находится на грани нарушения критерия проницаемости. Любое дальнейшее уменьшение толщины септы приведет к недопустимой проницаемости коллиматора. Уравнения (4.17) и (4.18) сужают проблему проектирования коллиматора к выбору одного параметра T. Если верхний предел отношения (α/β)² в неравенстве (4.16) подставить в уравнение (4.12), то получим для чувствительности следующее уравнение:

(4.19)

Максимальное значение чувствительность принимает при толщине коллиматора, удовлетворяющей условию экстремума, т.е. d$/dT = 0. Откуда

(4.20)

Если проблема структуры каналов игнорируется, то толщина T_opt, удовлетворяющая уравнению (4.20), обеспечивает оптимальную конструкцию коллиматора. Диаметр каналов и их разделение находятся подстановкой T_opt на место T в уравнения (4.17) и (4.18).

Сделаем два важных замечания к выражению (4.20). Первое, оптимальная толщина коллиматора не зависит от желаемого разрешения (FWMH). Все оптимальные проекты (для изображений с излучением заданной энергии и расстоянии до источника F) имеют одинаковую толщину. Таким образом, при поиске компромисса между чувствительностью и разрешением следует изменять не толщину коллиматора, а диаметр каналов. Коммерческие поставщики, производящие коллиматоры по технологии литья, часто нарушают этот принцип, потому что в этой технологии изменить толщину коллиматора существенно проще, чем изменить диаметр каналов.

Второе замечание состоит в том, что оптимальная толщина зависит от двух факторов: энергии фотонов (через τ_Hex) и расстояния F между источником и коллиматором. В клинических условиях это расстояние может изменяться от 5 до 45 см. Расстояние F играет важную роль, потому что оно демпфирует влияние толщины коллиматора на его разрешение. Реальное расстояние между плоскостью изображения и источником равно не F, а (T + B + F), и, следовательно, оба расстояния T и F могут приводить к ухудшению разрешения. Если F значительно больше, чем T, то толщина коллиматора будет доминирующим фактором в ухудшении разрешения. Поэтому небольшая толщина коллиматора благоприятна для разрешения. С другой стороны, можно увеличить чувствительность толстого коллиматора, если сделать тонкую септу (α/β → 1). Конкуренция между этими двумя противоречивыми тенденциями используется для создания оптимальной конструкции. Следовательно, конкретное приложение изображений диктует выбор соответствующего значения F.

Например, в астрономии расстояние F очень велико, поэтому наилучшим коллиматором является труба. Для источников, расположенных на поверхности коллиматора F = 0, и оптимальная толщина равна T = 1,5 τ_Hex. Если τ_Hex =0,429 см (для 140-кэВ фотонов и коллиматора из свинца), то оптимальный проект для F = 10, 15, 20 и 45 см будет иметь толщину T = 1,86, 2,18, 2,45 и 3,46 см. Коллиматор, спроектированный для F = 10 см, будет немного тоньше и менее чувствителен, чем коллиматор, спроектированный для F = 15 см (отметим, что FWMH, используемое в уравнении (4.17), должно соответствовать расстоянию F). Таким образом, выбор среднего расстояния F не является безобидной процедурой, но играет важную роль при определении геометрических параметров коллиматора. Исходя из того, что среднее F находится в некотором интервале приемлемых значений, оптимальная толщина коллиматора также выбирается в соответствующем диапазоне толщин (например, между 1,8 и 3,5 см). Если оптимальная толщина коллиматора найдена, то диаметр каналов определяется FWMH на расстоянии F (формула (4.17)), а расстояние между каналами рассчитывается по формуле (4.18). Оптимальная толщина T_opt коллиматора для среднего расстояния F = 15 см показана на рис. 4.9.

Рис.4.9. Зависимость оптимальной толщины коллиматоров из свинца или вольфрама от энергии фотонов для F = 15 см [1]

Как видно из рис. 4.9, T_opt быстро возрастает с увеличением энергии фотонов. Вместе с тем работа в ЯМ с коллиматором толще 5 см создает много проблем либо в связи с большим весом коллиматора, либо в связи с появлением в изображении неприятных артефактов из-за больших поперечных размеров каналов. Из рис. 4.9 следует, что оптимальная толщина превышает 5 см, начиная с энергии фотонов больше чем 240 кэВ. Поэтому описанная выше стратегия оптимизации не подходит для регистрации высокоэнергетичных фотонов.

Расчет T_opt по формуле (4.20) обеспечивает максимальную чувствительность, но игнорирует видимость в изображении конфигурации каналов. Если T_opt оказывается слишком большой, то это нарушает критерий конфигурации каналов. Включение этого критерия требует модификации критерия оптимизации. Причина в том, что для оптимизации чувствительности отношение (α/β)² было взято равным верхнему пределу в неравенстве (4.16). Однако нижний предел неравенства (4.16), который представляет ограничение, накладываемое критерием конфигурации каналов, также должен приниматься во внимание. Если получающееся в результате оптимизации значение нижнего предела оказывается меньше значения верхнего предела, то критерий конфигурации каналов не нарушается. В противном случае проект коллиматора необходимо отвергнуть. Оба предела в неравенстве (4.16) являются функциями толщины коллиматора, поэтому найденное в проекте значение толщины должно находиться внутри интервала T, в котором верхний предел превышает нижний предел.

Рис. 4.10. Зависимость ограничения проницаемости и ограничения конфигурации каналов в виде отношения (α/β)² от толщины для проекта LEAP коллиматора из свинца для E_γ = 140 кэВ, FWMH = 1,25 см, F = 15 см, B = 0,7 см, τ_Hex = 0,42943 см и ξ = 1 [1]

На рис. 4.10 приводится пример зависимости верхнего предела (ограничение проницаемости) и нижнего предела (ограничение конфигурации каналов) (α/β)² от толщины универсального LEAP коллиматора. Приемлемый проект коллиматора должен находиться между двумя кривыми, т.е. . ДляLEAP коллиматора см исм, значениеT_opt = 2,18 см лежит внутри допустимого интервала, поэтому обеспечивает оптимальность для этой величины τ_Hex.

На рис. 4.11 представлены такие же зависимости, как и на рис. 4.10 для серии коллиматоров, подобных LEAP коллиматору, но со значениями τ_Hex = 0,42943, 2,5748, 3,1104 и 3,8898, которые соответствуют энергиям фотонов E_γ = 140, 295, 325 и 365 кэВ, соответственно. Ограничение конфигурации каналов зависит от всех геометрических параметров (FWMH, FWMH_c, F, B, ξ_min), но не зависит от τ_Hex, и, следовательно, от энергии фотонов. Поэтому ограничение конфигурации каналов представлено на рис. 4.11 одной кривой. Напротив, ограничение проницаемости зависит только от энергии фотонов, поэтому на рис. 4.11 оно показано в виде нескольких кривых. С увеличением энергии фотонов эти кривые идут все ниже, поэтому в результате два ограничения перекрываются во все более узком интервале T. Величина T_max уменьшается, а T_min возрастает до достижения τ_Hex = τ_max = 3,1104 (E_γ = 325 кэВ), где два критерия перекрываются в одной точке. Для более высоких энергий создание коллиматора, удовлетворяющего обоим критериям, становится невозможным. Поэтому на практике конструкции свинцовых коллиматоров для высоких энергий не удовлетворяют в полной мере одному или обоим критериям.

Другим возможным решением является использование материала с большим коэффициентом поглощения, чем свинец, например, вольфрам, золото или уран. Для вольфрама τ_Hex < τ_max для энергий ниже 350 кэВ, для золота – ниже 370 кэВ и урана – ниже 435 кэВ что позволяет создавать коллиматоры, удовлетворяющие обоим критериям до вплоть до энергий фотонов, испускаемых клинически очень важным р/н ¹³¹I (E_γ = 364 кэВ). Однако такое решение экономически нецелесообразно. Очевидно, что проблема еще больше усложняется при регистрации 511-кэВ фотонов.

Рис. 4.11. Зависимость ограничения проницаемости и ограничения конфигурации каналов в виде отношения (α/β)² от толщины для проекта LEAP коллиматора из свинца для разных энергий фотонов (FWMH = 1,25 см, F = 15 см, B = 0,7 см и ξ = 1) [1] (Хенкин, с. 124, р. 8.16)