4.2.2 Основной закон зацепления

Идея основной теоремы зацепления была высказана английским ученым Р. Виллисом в 1841 г. при разработке классификации механизмов на основе на основе анализа отношения скоростей звеньев.

Пусть передача между двумя осями О₁и О₂с угловыми скоростямиω₁иω₂осуществляется посредством 2-х взаимоогибаемых кривых К₁и К₂(рисунок 4.22,а).

а- схема механизма с высшей парой;б- план скоростей.

Рисунок 4.22 - К выводу основного закона зацепления

Проведем в точке соприкосновения СкривыхК₁иК₂и нормальn-nи касательнуюt-tк этим кривым. В точкеСсоединяются две кривые, поэтому будут две точки:С₁, принадлежащая кривойК₁, иС₂, принадлежащая кривойК₂. Скорость точкиС₁известна по величине и направлению. Определим скорость точкиС₂методом планов (см. гл.2, §2.4, п.2.4.2). Выбираем масштабный коэффициент плана сил μ_V =V_C1/[P_VC₁] = (). Записываем векторное уравнение плана скоростей

V_C2=V_C1+V_C2C1t-t

V_C2=V_O2+V_C2O2СО₂.

Построенный план скоростей представлен на рисунке 4.22, б.

Из точек О₁и О₂опускаем на нормаль перпендикуляры О₁А и О₂В, а из полюса плана скоростей опустим перпендикуляр Р_Vc_oна линию действия скоростиV_C2C1. ОтрезокP_Vc_oпредставляет собой нормальную составляющуюV_nвекторов скоростейV_C1 иV_C2, т.е.V_Co=V_A V_B=V_n.

Рассмотрим треугольники ΔО₁АС₁и ΔР_VС_оС₁– они подобны по взаимно-перпендикулярным сторонам, т.е.

ΔО₁АС₁~ΔР_VС_оС₁.

Аналогично ΔО₂BС₂~ΔР_VС_оС₂.

Исходя из этого, составим пропорции:

О₁А/О₁С₁=[Р_VС_о]/Р_VС₁;

О₂В/О₂С₂=[Р_VС_о]/Р_VС₂.

Выразим из этих уравнений Р_VС_о:

Р_VС_о=О₁А [Р_VС₁]/О₁С₁;

Р_VС_о=О₂В [Р_VС₂]/О₂С₂.

Эти равенства можно записать в действительных скоростях:

V_Со = О₁АV_С1/О₁С₁;

V_Со= О₂ВV_С2/О₂С₂.

Приравняем правые части уравнений:

О₁АV_С1/О₁С₁=О₂ВV_С2/О₂С₂.

Скорости точек С₁и С₂вычисляются по формуламV_С1 =ω₁О₁С₁,V_С2=ω₂ О₂С₂. С учетом этого, имеем:

О₁А ω₁ О₁С₁/О₁С₁ = О₂В ω₂ О₂С₂/О₂С₂.

После сокращения, получим следующее выражение

О₁А ω₁ = О₂В ω₂.

Отношение угловых скоростей есть передаточное отношение. В итоге получим формулу:

ω₁/ω₂ = О₂В/О₁А =R_W2/R_W1 =z₂/z₁ =U₁₂, (4.15)

где R_W1иR_W2- радиусы начальных окружностей колес.

Равенство (4.15) называется основным законом зацепления, который гласит:нормаль в точке касания высшей кинематической пары качения и скольжения делит линию центров на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Точка р, делящая линию центров О₁О₂на части, обратно пропорциональные угловым скоростям, называется полюсом зацепления. Тогда межосевое расстояниеa_Wбудет равно

a_W = [О₁О₂] = R_W1 + R_W2.(4.16)

4.2.3 Передаточное отношение цилиндрических редукторов

Как указывалось в п. 4.2.1., передаточным отношением называется отношение угловых скоростей зубчатых колес:

U₁₂ = ω₁/ω₂. (4.17)

Зубчатые колеса в передаче могут соединяться по-разному. В случае одноступенчатой передачи для внешнего зацепления передаточное отношение имеет отрицательный знак, т.к. колеса вращаются в разные стороны

U₁₂= - ω₁/ω₂.

Для внутреннего зацепления передаточное отношение имеет положительный знак, т.к. угловые скорости колес направлены в одну сторону

U₁₂= + ω₁/ω₂.

Передаточное отношение можно определять также через отношение чисел зубьев колес, которыми обычно и задаются:

U₁₂=z₂/z₁. (4.18)

Передаточное отношение многоступенчатого зубчатого механизма есть произведение взятых со своими знаками передаточных отношений отдельных его ступеней, т.е.:

U_1n= (-1)^kU₁₂U₂₃U₃₄…·U_(n-1)n. (4.19)

где k– число внешних зацеплений. Множитель (-1)^kпозволяет определить знак передаточного отношения сложного зубчатого механизма.

Ступень передачи– контакт (зацепление) двух колес.

Рассмотрим определение передаточного отношения для различного типа соединений.

Пример 1.Рассчитать передаточное отношение от первого колеса к пятому (от ведущего к ведомому)U₁₄ для простого рядового соединения – зубчатые колеса расположены в один ряд (рисунок 4.23). Известны числа зубьев колесz₁,z₂,z₃иz₄.

Рисунок 4.23 - Простое рядовое соединение

Решение. Количество ступеней (контактов) для данного соединения будет k =3. По формуле (4.19) имеем:

U₁₅ = (-1)³ U₁₂U₂₃U₃₄. (4.20)

Для каждой пары колес передаточное отношение определится по формуле (4.18), а именно:

U₁₂ = z₂/z₁, U₂₃ = z₃/z₂, U₃₄ = z₄/z₃.

Подставив эти значения в формулу (4.20), получим:

U₁₅ = (+).

После сокращения, имеем:

U₁₄ = . (4.21)

В формулу (4.21) не входят угловые скорости 2-го и 3-го колес. Зубчатые колеса, от которых не зависит величина передаточного отношения, называют паразитными колесами. В действительности паразитные колеса выполняют большую роль. От них зависит направление вращения ведомого вала. Их введение влияет на знак передаточного отношения. Они необходимы для передачи движения при большом межосевом расстоянии.

Пример 2. Рассчитать передаточное отношение ступенчатого соединения (рисунок 4.24).

Решение. Количество ступеней (контактов) для данного соединения будет k = 2. Представим передаточное отношение через произведение передаточных отношений каждой ступени (см. формулу 4.20):

U₁₄ = (-1)² U₁₂U_2’3. (4.22)

Рисунок 4.24 - Кинематическая

схема цилиндрического

двухступенчатого редуктора

Число внешних зацеплений будет равно 2, поэтому знак передаточного отношения получится положительный. Через числа зубьев имеем:

U₁₃ = (+). (4.23)

Таким образом, используя формулы (4.15), (4.18) и (4.19) можно рассчитать передаточное отношение любой передачи (не только зубчатой).