3.2.3.4 Приближенный метод определения момента

инерции маховика

Уравнение движения механизма можно записать в форме уравнения кинетической энергии:

А_дв.с.-А_с.с=.

Изменение кинетической энергии есть разность работ, которая в свою очередь равна работе, т.е.:

ΔТ = А_дв.с.- А_с.с = А.

Тогда

А= ,

где J^ср_престь среднее значение приведенного момента инерции. Вынесем его за скобку:

А=.

Учитывая, что

ω²_max - ω²_min=(ω_max+ω_min)(ω_max-ω_min)

и, принимая во внимание формулы (3.66), (3.67), получим выражение для работы

А=ω²_ср δ.

Если пренебречь изменением момента инерции механизма и представив, что =, то можно вычислитьмомент инерции маховика приближенно

.(3.70)

В этой формуле изменение момента инерции механизма не учитывается, он принимается постоянной величиной. Более точным является определение момента инерции маховика методами Н.И. Мерцалова и К.Э. Рериха. Эти методы подробно рассмотрены в источнике [3] данного пособия. Еще одним методом, позволяющим более точно определить J_махявляется метод профессора Ф. Виттенбауэра. Его мы рассмотрим более подробно.

3.2.3.5 Определение момента инерции маховика

методом Ф.Виттенбауэра

Ключом для определения J_махэтим методом является построение графика энергия-масса или диаграммы Ф.Виттенбауэра (см. гл. 3, §2, п. 3.2.3.2). Для этого строится зависимость момента инерции от кинетической энергииJ_пр= J_пр (ΔТ). При определении момента инерции маховика заданным является коэффициент неравномерности, силы же инерции не должны входить в диаграммы движущих сил и сил сопротивления. Средняя угловая скорость ведущего звена должна равняться истиной (формула 2.21, гл. 2, п. 2.3.3)

ω_ср = ω₁ =

Порядок проведения метода Ф. Виттенбауэра

1. Строится механизм в nположениях, начиная с «мертвого» (гл.2, §2 и §3, п. 3.3). Для каждого положения (в нашем примере в 6-ти) строится план скоростей и план ускорений.

2. Рассчитываются внешние силы, действующие на звенья механизма. В частности для двигателя внутреннего сгорания вычисляются силы давления газа на поршень Р_Гпо формуле (3.2).

3. Для каждого положения вычисляется приведенная сила (формула 3.48):

= (Н).

Также Р_прможно вычислить по методу Н.Е.Жуковского (гл.3, §3.1, п. 3.1.7), тогдаР_пр= -Р_ур(там же, п. 3.1.9).

4. Для каждого положения вычисляется приведенный момент от движущихся сил или от сил сопротивления, смотря какое движение совершает ведущее звено – ускоренное или замедленное (там же):

М_пр=Р_прℓ_ОА=(Нм).

5. Строится график приведенного момента от движущихся сил (в нашем примере движение ускоренное). Для этого высчитываем масштабный коэффициент приведенного момента:

μ_Мпр=М_пр1/h₁=(Нм/мм).

И рассчитываем амплитуды приведенных моментов в мм:

h₂ = М_пр2/μ_Мпр, μ_Мпр =М_пр1/h₁и т.д.

Проводим оси М_пр иφ. Осьφделим на 6 равных частей и откладываем высотыh₁,h₂и т.д. Соединяем их плавной линией (рисунок 3.19, а).

6. Методом графического интегрирования строим график работы движущих сил А_дв.с.(рисунок 3.19,б). Соединяя начало графика с его концом, получаем график работы сил сопротивления А_с.с.(для замедленного движения наоборот).

7. Строится график изменения кинетической энергии, как разность работ (рисунок 3.19, в):

ΔТ = А_дв.с.- А_с.с. (3.71)

Высчитываются масштабные коэффициенты полученных графиков

μ_А=μ_ΔТ = μ_Мпрμ_φН=(Дж/мм),

где Н – полюсное расстояние в мм.

8. Считаем для каждого положения осевой приведенный момент инерции по формуле 3.55 (гл. 3, § 3.1, п. 3.1.9):

J_пр = = (кгм²).

9. Строим график J_пр, повернутый на 90^о, чтобы ось φ стала вертикальной (рис. 3.19,г). Для его построения высчитываем масштабный коэффициент

μ_Jпр=J_пр1/Х₁=(кгм²/мм).

10. На пересечении графиков J_при ΔТ строится диаграмма Виттенбауэра (график энергия-масса), исключая параметр φ.

11. Определяем углы ψ_max иψ_min. Т.к. по оси абсцисс отложен приведенный момент инерцииJ_прв масштабе μ_Jпр, а по оси ординат ΔТ в масштабе μ_ΔТ, то

tgψ =y/x= Тμ_Jпр/J_прμ_ΔТ.

Откуда выразим соотношение, учитывая углы для каждой касательной

Т/J_пр=μ_ΔТtgψ_max/μ_Jпр

Т/J_пр=μ_ΔТtgψ_min/μ_Jпр(а)

Зная формулу кинетической энергии (Т=J_прω²/2), определим отношение

Т/J_пр=ω²_max /2

Т/J_пр=ω²_min /2 (б)

Приравнивая выражения (а) и (б) и выразив угловую скорость, получим

ω²_max =2μ_ΔТtgψ_max/μ_Jпр

ω²_min=2μ_ΔТtgψ_min/μ_Jпр(в)

В формулы (в) из п. 3.2.3.2

ω²_min=ω²_ср(1+ δ); ω²_max=ω²_ср(1- δ)

подставим полученные соотношения, и, выразив углы, имеем:

tgψ_max= μ_Jпрω²_ср (1+δ)/2μ_ΔТ

tgψ_min= μ_Jпрω²_ср (1-δ)/2μ_ΔТ(3.72)

12. Находим отрезок [kℓ]. Для этого проводим касательные к диаграммеΔТ = f(J_пр)под углами ψ_max иψ_min(рис. 3.19,д). Пересечение их с вертикальной осьюφдаст нам отрезок [kℓ].

13. Определяем момент инерции маховика J_мах.

J_мах == (кгм²), (3.73)

где [kℓ] - отрезок вмм. Формула (3.73) позволяет с необходимой точностью определить момент инерции маховикаJ_мах.

При подсчете углов ψ_max и ψ_minпо формулам 3.72 может оказаться, что они будут очень велики. Пересечение касательных с осью ординат диаграммыΔТ = f(J_пр)получится внизу, вне пределов чертежа. Поэтому из конструктивных соображений необходимо изменить углы до 45^о– 60^о.

График приведенного осевого Графики приведенных моментов

момента инерции J_пр от движущихся сил М_пр^дв.с. и от сил

сопротивления М_пр^с.с.

μ_Jпр=(кгм²/мм) μ_Мпр=…= (Нм/мм)

г) а) μ_φ=…= (рад/мм)

0 0 J_пр М_пр

х₁

1 х₂ 1 h₂

2 2 М_пр^с.с. h₅

Р

3 3 0 1 2 3 4 5 6 φ

4 4 h₁

5 5 Н h₄

М_пр^дв.с.

6 6 б) Графики работы движущихся сил А_дв.с.

и сил сопротивления А_с.с.

φ А μ_А=…= (Дж/мм)

A_с.с.

0 1 2 3 4 5 6 φ

А_дв.с.

Диаграмма Ф.Виттенбауэра График изменения кинетической

(график энергомасс) энергии ΔТ

д) в) μ_ΔТ =…= (Дж/мм)

ΔТ

ψ_max

3

k 0,6 0 1 2 3 4 5 6 φ

4 5

2 1 ψ_min

ℓψ_max

ψ_min

Рисунок 3.19 - Построение диаграммы Ф. Виттенбауэра

Метод Ф.Виттенбауэра не учитывает влияние скорости на действующие силы и моменты. Так график приведенного момента от движущих сил построен в виде зависимости от угла поворота (), а не от угловой скорости. Пренебрежение влиянием скорости на силы и моменты допустимы по той причине, что скорость ведущего звена отклоняется от среднего значения не более чем на ± 2 %. Поэтому изменения сил и моментов, приложенных к ведущему звену и зависящих от скорости, также будут небольшими и ими можно пренебречь.

Если известен момент инерции маховика, можно определить его размеры.