2 Частичное уравновешивание результирующей силы инерции

Частичное уравновешивание применяется для уравновешивания только главного вектора сил инерции без уравновешивания моментов сил инерции. При этом необходимо и достаточно, чтобы общий центр масс Sмеханизма оставался неподвижным, т.е. находился между точкамиОиС, и удовлетворялось условие

=const. (3.98)

Как было указано выше, радиус-вектор положения общего центра масс r_Sопределяется как геометрическая сумма главных векторов сил инерции

.

Для удовлетворения условия (3.98) нужно

=const. (3.99)

Это условие может быть удовлетворено, если главные вектора сил инерции h₁,h₂,h₃подобрать так, чтобы векторный многоугольник, образованный ими, был подобен четырехугольникуОАВС, образуемому звеньями механизма (рисунок 3.35):

ОН₁Н₂S~ОАВС

При таком подборе вектора должны удовлетворять пропорциям

h₁/ℓ₁=h₂/ℓ₂=h₃/ℓ₃(3.100)

Общий центр масс механизма в этом случае находится на прямой ОС и за все время движения механизм остается неподвижным. При этом удовлетворяется условие (3.98) и силы инерции оказываются уравновешенными.

Механизм будет частично уравновешен при любом положении точки Sна прямой ОС. Подставим в равенство (3.100) значения векторов из формул (3.97).

Рисунок 3.35 - К частичному уравновешиванию механизма

Сначала рассмотрим отношение

h₁/ℓ₁= h₂/ℓ₂,

в которое подставим значения h₁ и h₂. Затем рассмотрим отношения

h₂/ℓ₂ = h₃/ℓ₃,

куда подставим значения h₂ и h₃. В результате этого имеем:

m₁a₁=[-m₂ℓ₁(ℓ₂-a₂)]/ℓ₂

m₂a₂=[-m₃ℓ₃(ℓ₃-a₃)]/ℓ₂. (3.101)

Уравнения (3.101) являются условием частичного уравновешивания механизма. Из выражений (3.101) следует, чточастичное уравновешиваниешарнирного четырехзвенника может быть достигнуто путем установки противовесов на двух его звеньях. Частичное же уравновешивание кривошипно-ползунного механизма достигается установкой одного противовеса. Знак минус показывает, что противовес должен быть установлен вне звена (рисунок 3.35).

3 Полное уравновешивание результирующей силы инерции

Для полного уравновешивания главного вектора сил инерции и главного момента сил инерции необходимо, чтобы радиус-вектор положения общего центра масс механизма был равен нулю:

= 0. (3.102)

В этом случае центр масс механизма должен совпадать с точкой О. Эти условия должны соблюдаться в том случае, если главные вектора сил инерции также равны нулю:

.

Приравняем числители формул (3.97) нулю, получим:

m₁а₁+(m₂+m₃)ℓ₁=0;m₂а₂+(m₃)ℓ₂=0;m₃а₃=0.

Откуда имеем:

m₁а₁ =-(m₂+m₃)ℓ₁,

m₂а₂ =-(m₃)ℓ₂, (3.103)

m₃а₃ =0.

Уравнения (3.103) являются условием полного уравновешивания результирующей силы инерции. Из этих уравнений видно, что, так кака₁иа₂ отрицательны, то противовесы устанавливаются в противоположные стороны от звеньев.Для полного уравновешивания шарнирного четырехзвенника необходимо установить три противовеса, а для уравновешивания кривошипно-ползунного механизма – два.

Рассмотрим примеры частичного и полного уравновешивания результирующей силы инерции различных механизмов.

Задача 3. Частичное уравновешивание кривошипно-ползунного механизма

Исходные данные.Длины звеньев вм: ℓ₁=ℓ_ОА, ℓ₂ =ℓ_АВ; расстояния до центров масс вм:a₁ =ℓ_OS1,a₂ =ℓ_AS2,a₃ =ℓ_ВS3=0; расстояние до центра масс противовеса 1a΄₁=ℓ΄_OS1; массы звеньев вкг:m₁,m₂,m₃.

Определить:m_пр1(кг) – массу противовеса 1, необходимую для частичного уравновешивания главного вектора сил инерции.

Решение.Известно, что для частичного уравновешивания кривошипно-ползунного механизма достаточно установить один противовес, который будет располагаться в противоположную сторону от центра массS₁(рисунок 3.36).

Рисунок 3.36 - Частичное уравновешивание

кривошипно-ползунного механизма

Главный вектор результирующей силы инерции будет частично уравновешен, если удовлетворяются условия (3.98), (3.100) и (3.101), т.е.:

= const.

Так как необходимо установить один противовес, то достаточно рассмотреть первое уравнение из выражения (3.101):

m₁a₁=[-m₂ℓ₁(ℓ₂-a₂)]/ℓ₂.

Рассмотрим 1-ое звено. После установки противовеса центр масс 1-го звена сместится и встанет в точку S_I. Масса звена изменится и станет равной

m_I =m₁ +m_пр.

1-ое уравнение из условия (3.101) запишется следующим образом

m_Ia_I = [-m₂ℓ₁(ℓ₂-a₂)]/ℓ₂.

Составим уравнение статического момента 1-го звена относительно точки О:

m_Ia_I =m₁а₁-m_прa΄₁

Приравнивая оба эти равенства, определим массу противовеса:

Задача 4. Частичное уравновешивание коромыслового механизма

Исходные данные.Длины звеньев вм: ℓ₁=ℓ_ОА, ℓ₂=ℓ_АВ, ℓ =ℓ_ВС; расстояния до центров масс вм:a₁ =ℓ_OS1,a₂ =ℓ_AS2,a₃ =ℓ_ВS3; массы звеньев вкг:m₁,m₂,m₃; расстояния до центров масс противовесовa΄₁=ℓ΄_OS1,a΄₂= ℓ΄_АS2(рисунок 3.37).

Определитьмассы противовесовm_пр1, m_пр2 вкгнеобходимые для частичного уравновешивания главного вектора сил инерции шарнирного четырехзвенника.

Решение.Механизм будет частично уравновешен, если выполняются условия (3.98), (3.100) и (3.101).

Рисунок 3.37 - Частичное уравновешивание шарнирного четырехзвенника

Рассмотрим 2-е звено. После установки противовеса масса звена изменится и станет

m_II = m₂ + m_пр2.

Центр масс сместится в точку S_II. Расстояние до центра масс станет а_II=ℓ_АSII. Из второго уравнения системы (3.101), имеем

m₂a₂=[-m₃ℓ₃(ℓ₃-a₃)]/ℓ₂.

Преобразуем его с учетом установки противовеса

m_IIa_II=[-m₃ℓ₃(ℓ₃-a₃)]/ℓ₂.

Составим уравнение статического момента 2-го звена относительно точки А:

m_IIa_II =m₂а₂ -m_пр2 a΄₂.

Приравнивая правые части обоих уравнений и выразив m_пр2, получим:

.

Аналогично рассмотрим 1-ое звено. Масса звена после установки противовесаm_I =m₁+m_пр1. Расстояние до центра масса_I =ℓ_ОSI. Из первого уравнения системы (3.101) имеем:

m_Ia_I=[-m_IIℓ₁(ℓ₂-a_II)]/ℓ₂.

Составим уравнение статического момента 1-го звена относительно точки О:

m_Ia_I = m₁а₁-m_пр1a΄₁

Приравнивая правые части обоих уравнений и выразив m_пр1, получим:

.

Задача 5. Полное уравновешивание кривошипно-ползунного механизма

Исходные данные.Длины звеньев вм: ℓ₁=ℓ_ОА, ℓ₂ =ℓ_АВ; расстояния до центров масс вм:a₁ =ℓ_OS1,a₂ =ℓ_AS2,a₃ =ℓ_ВS3=0; расстояние до центров масс противовесовa΄₁=ℓ΄_OS1, a΄₂=ℓ΄_АS2; массы звеньев вкг:m₁, m₂, m₃.

Определить:m_пр1,m_пр2(кг) – массы противовесов, необходимые для полного уравновешивания главного вектора сил инерции.

Решение.Известно, что для полного уравновешивания кривошипно-ползунного механизма необходимо установить два противовеса, которые будут располагаться в противоположную сторону от центров массS₁иS₂(рисунок 3.38).

Главный вектор результирующей силы инерции будет полностью уравновешен, если удовлетворяются условия (3.102) и (3.103), т.е.:

= 0.

m₁а₁ =-(m₂+m₃)ℓ₁,

m₂а₂ =-(m₃)ℓ₂,

m₃а₃=0.

Рисунок 3.38 - Полное уравновешивание кривошипно-ползунного механизма

Так как необходимо установить два противовеса, то третье уравнение системы не учитываем.

Рассмотрим 2-е звено. После установки противовеса масса звена станет

m_II = m₂ + m_пр2.

Центр масс сместится и встанет в точку S₂.

Тогда 2-ое уравнение системы (3.103) примет вид

m_II а_II =-(m₃)ℓ₂.

Составим уравнение статического момента 2-го звена относительно точки A:

m_IIa_II = m₂а₂- m_пр2a΄₂.

Приравнивая оба эти равенства, определим массу 2-го противовеса:

Рассмотрим 1-ое звено. После установки противовеса центр масс 1-го звена сместится и встанет в точку S_I. Масса звена изменится и станет равной

m_I =m₁ +m_пр1.

1-ое уравнение из условия (3.103) запишется следующим образом

m_Ia_I = -(m_II+m₃)ℓ₁.

Составим уравнение статического момента 1-го звена относительно точки О:

m_Ia_I =m₁а₁-m_пр1a΄₁

Приравнивая оба эти равенства, определим массу 1-го противовеса:

Задача 6. Полное уравновешивание коромыслового механизма

Исходные данные.Длины звеньев вм: ℓ₁=ℓ_ОА, ℓ₂=ℓ_АВ, ℓ =ℓ_ВС; расстояния до центров масс вм:a₁ =ℓ_OS1,a₂ =ℓ_AS2,a₃ =ℓ_ВS3; массы звеньев вкг:m₁,m₂,m₃; расстояния до центров масс противовесовa΄₁=ℓ΄_OS1,a΄₂= ℓ΄_АS2, a΄₃=ℓ΄_ВS3(рисунок 3.39).

Определитьмассы противовесов вкгm_пр1,m_пр2,m_пр3, необходимые для полного уравновешивания главного вектора сил инерции шарнирного четырехзвенника.

Решение.Механизм будет полностью уравновешен, если выполняются условия (3.102) и (3.103)

=0;

m₁а₁ =-(m₂+m₃)ℓ₁,

m₂а₂ =-(m₃)ℓ₂,

m₃а₃=0.

Рассмотрим 3-е звено. После установки противовеса масса звена изменится и станет

m_III = m₃ + m_пр3.

Центр масс сместится в точку S_III. Расстояние до центра масс станет а_III=ℓ_ВSIII. Из третьего уравнения системы (3.103), имеем m_IIIа_III = 0. Но m_III 0.

S^΄₃

m_пр3

S^΄₂S_IIS₂В

m_пр2Аm₂S_IIIm_III(m₃₊m_пр3)

S₁ m_II(m₂+m_пр2)

S_I m₁ S₃ m₃

m_I(m₁+m_пр1)

О С

S^΄₁

m_пр1

Рисунок 3.39 - Полное уравновешивание

шарнирного четырехзвенника

Поэтому условие (3.103) не выполняется. Массу противовеса m_пр3определим, составив уравнение статического момента 3-его звена относительно точкиВ:

m_IIIa_III = m₃а₃ - m_пр3a΄₃ = 0.

Выразим массу противовеса:

m_пр3 = m₃а₃/a΄₃ =(кг).

Рассмотрим 2-ое звено. Масса звена после установки противовесаm_II=m₂+m_пр2. Расстояние до центра масса_II =ℓ_АSII. Из второго уравнения системы (3.103) имеем:

m_IIа_II = -(m_III)ℓ₂.

Составим уравнение статического момента 2-го звена относительно точки А:

m_IIa_II =m₂а₂ -m_пр2 a΄₂.

Приравнивая правые части обоих уравнений и выразив m_пр2, получим:

m_пр2=(m₂а₂+m_IIIℓ₂)/a΄₂ =(кг).

Рассмотрим 1-ое звено. Масса звена после установки противовесаm_I =m₁+m_пр1. Расстояние до центра масса_I =ℓ_ОSI. Из первого уравнения системы (3.103) имеем:

m_Iа_I = - (m_II +m_III)ℓ₁.

Составим уравнение статического момента 1-го звена относительно точки О:

m_Ia_I =m₁а₁-m_пр1a΄₁

Приравнивая правые части обоих уравнений и выразив m_пр1, получим:

m_пр1=[m₁а₁+(m_II+m_III)ℓ₁]/a΄₁=(кг).

В некоторых случаях на практике частичное или полное уравновешивание сил инерции звеньев достигается установкой симметрично расположенных механизмов с равными массами симметрично расположенных звеньев, благодаря чему получается самоуравновешивание механизма в целом. На рисунке 3.40 показана одна из таких схем.

Рисунок 3.40 - Схема сдвоенного самоуравновешенного

кривошипно-ползунного механизма

Механизм состоит из двух симметрично расположенных кривошипно-ползунных механизмов АВС и АВ'С'. В этом механизме силы инерции масс уравновешиваются, но остается неуравновешенная пара сил инерции.

Вопросы для самоконтороля

1. В каких случаях решаются задачи статического и динамического уравновешивания?

2. Что называется балансировкой?

3. Что решает 1-ая задача уравновешивания? 2-ая задача?

4. Напишите уравнение равновесия сил инерции плоского механизма.

5. Как направлены главные вектора сил инерции звеньев механизма?

6. Как направлен главный вектор результирующей силы инерции механизма?

7. В чем суть частичного уравновешивания и какое минимальное число грузов требуется для его осуществления?

8. В чем суть полного уравновешивания и какое минимальное число противовесов требуется для его осуществления?