3.1.6 Определение уравновешивающей силы принципом возможных перемещений

Силовой расчет и динамическое исследование механизма можно всегда произвести, если использовать принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещенийгласит:если на какую либо механическую систему действуют силы, то, прибавляя к заданным силам силы инерции и давая ей возможные перемещения, получаем ряд элементарных работ, сумма которых должна равняться нулю. Т.е.:

_ί= 0. (3.27)

Для поступательного движения элементарная работа вычисляется по формуле (рисунок 3.12, а):

А = РScosα. (3.28)

Для вращательного движения элементарная работа вычисляется по формуле (рисунок 3.12, б):

А = Мφ, (3.29)

где Р- сила, действующая на систему;S- проекция возможных перемещений;α-угол, образованный

а)

В=SP

α

S

б)

М

φ

Рисунок 3.12, а-б

между вектором действия силы и проекцией элементарного перемещения; М-момент, действующий на систему;φ- элементарный угол, на который поворачивается система.

Чтобы система находилась в равновесии, на механизм должна действовать уравновешивающая сила Р_ур. Элементарная работа под действием этой силы вычисляется по формуле (3.28). Подставляя формулы (3.28) и (3.29) в уравнение (3.27) и учитывая уравновешивающую силу, имеем:

_ί = Р_ίS_ίcosα_ί + М_ίφ_ί - Р_ур S_урcosα_ур = 0. (3.30)

Т.к. механизм является кинематической цепью принужденного движения не зависящего от времени, то возможные перемещения можно принять за действительные. Т.е.:

d_ί =Р_ίdS_ίcosα_ί + М_ίdφ_ί - Р_урdS_урcosα_ур = 0. (3.31)

Но, разделив обе части уравнения на dtи учитывая, чтоdS/dt = υ,dφ/dt = ω, получим:

Р_ίυ_ίcosα_ί + М_ίω _ί - Р_урυ _урcosα_ур = 0. (3.32)

Отсюда выразим уравновешивающую силу Р_ур

(3.33)

где Р_ί - силаi-того звена,υ_ί - скорость точки, к которой приложена уравновешивающая сила,α_ί - угол, образованный между линией действия силы и вектором скорости;М_ί - моментi-того звена; ω_ί - угловая скоростьi-того звена.

Т.к. угол α_ур = 0^о (рис. 3.10), cosα_ур = 1 и скорость приложена к т.А, тогда формула (3.33) примет вид

(3.34)

Применим этот метод на конкретном примере.

3.1.7 Определение уравновешивающей силы с помощью «жесткого» рычага н.Е. Жуковского

В тех случаях, когда требуется найти уравновешивающую силу Р_ур, для ее нахождения проще воспользоваться «жестким» рычагом Н.Е.Жуковского, не прибегая к последовательному силовому расчету. В основе рычага Н.Е. Жуковского лежит принцип возможных перемещений, т.е.:

d_К = 0 илиР_Кυ_Кcosα_К - Р_урυ _урcosα_ур = 0. (3.35)

Рассмотрим, как определяется элементарная работа какой-либо силы Р_К. Пусть на звеноАСв точке Кдействует силаР_К. Пусть также известны величины и направления скоростей точекυ_Аиυ_С(рисунок 3.13). Величину скорости точкиКопределим из построения плана скоростей. Для этого строим в произвольном масштабеповернутыйплан скоростей звенаАС. На плане скоростейυ_Кпредставляет собой отрезок [Рк], т.е.:

υ_К = [Рк] μ_υ= м/с.

а- схема звена с показанной силой;

б- повернутый план скоростей

Рисунок 3.13 - К доказательству теоремы Н.Е. Жуковского о «жестком» рычаге

Переносим силу Р_Ксо схемы звена в точку «к» на плане скоростей. Из точки полюсаР опускаем перпендикуляр на направление действия этой силы. Получаем плечоh_К, которое можно вычислить по формуле:

H_К = [Рк] μ_υcosα_К = υ_Кcosα_К. (3.36)

Подставим формулу (3.36) в уравнение (3.35). Получим, учитывая, что υ_С = υ_i:

d_К =Р_Кh_К - Р_урh_ур = 0. (3.37)

Произведение силы на плечо есть ни что иное, как момент:

Р_Кh_К =М_Р,

тогда получим следующее выражение уравновешивающей силы:

Р_ур=М_Рυ/h_К. (3.38)

Или Р_ур=Р_Кh_К/h_К. (3.39)

Выражения (3.37), (3.38) и (3.39) есть геометрическая интерпретация теоремы Н.Е.Жуковского, которая гласит: «Элементарная работа силы, действующая на звено механизма, пропорциональна моменту относительно полюса плана скоростей этой же силы, перенесенной в соответствующую точку плана».

Итак, практически это достигается следующим образом. Переносим все заданные силы, действующие на звенья механизма (силы тяжести G, силы инерции Р_и, движущие силы Р_дв) в одноименные точки повернутого плана скоростей, не изменяя их направления и величины. Составляем уравнение моментов всех перенесенных сил относительно полюса, т.е. рассматриваем план скоростей как некоторый рычаг с опорой в полюсе плана скоростей, находящийся под действием всех рассматриваемых сил в равновесии. Внимание! Реакции в кинематических парах не учитываются!

Метод Н.Е. Жуковского может быть применен для нахождения уравновешивающей силы Р_ур, если точка приложения и направление ее заданы, а также заданы величины, направления и точки приложения всех остальных сил. Ниже рассмотрим определениеР_урметодом планов и с помощью «жесткого» рычага Н.Е. Жуковского для шестизвенного механизма.