3.1.8 Кинетостатический (силовой) расчет шестизвенного механизма (пример выполнения)

Исходные данные для расчета:ℓ_ОА, ℓ_АВ, ℓ_ВС - длины звеньев вм;ℓ_ОС-межосевое расстояние вм;ℓ_У - расстояние до хода ползуна 5 вм; ℓ_О1S1, ℓ_АS2, ℓ_СS3- расстояния до центров масс вм;m₁, m₂, m₃, m₅ - массы звеньев вкг; φ - угол положения кривошипа.

Определить: Скорости и ускорения всех точек звеньев механизма;R₆₁, R₂₁, R₂₃, R₆₃, R₆₅ – реакции в кинематических парах;Р_ур- уравновешивающую силу.

Решение.

1. Изображение механизма в масштабе μ_ℓ. Высчитываем масштабный коэффициент по формуле (2.1):μ_ℓ = ℓ_О1А /ОА= (м/мм). Затем считаем чертежные значения межосевого расстоянияОС = ℓ_ОС/μ_ℓ, расстоянияy = ℓ_y/μ_ℓи длин звеньевАВ = ℓ_АВ/μ_ℓ,ВС=ℓ_ВС/μ_ℓ вмм. Откладываем межосевое расстояниеОСи под углом φ проводим длинойОАположение кривошипа. После этого из точкиАпроводим дугу, равную радиусуR₁=[АВ], а из точкиСпроводим дугу, равную радиусуR₂ = [ВС]. На пересечении этих двух дуг получаем точкуВ. Далее проводим горизонтальную линию на расстоянии уи отмечаем точку D. Изображаем опоры и кулисный камень (рисунок 3.14,а).

2. Кинематическое исследование механизма(определение скоростей и ускорений всех точек звеньев механизма методом планов).

Кинематический анализ механизма начинается с 1-го (ведущего) звена, т.к. известны его положение и длина. Высчитываем скорость точки Апо формуле (2.26)

υ_А = ω₁ℓ_ОА=(м/с),

а затем масштабный коэффициент плана скоростей по формуле (2.30)

μ_υ = υ_А/[Р_υа] = ().

К механизму Iкласса присоединяется структурная группа2-3. Она является группойIIкласса 1 вида. Методика построения плана скоростей и ускорений этой группы рассмотрена в п. 2.4.2,Задача 1. Остановимся кратко. Скорости внешних шарнировАиСизвестны: υ_Арассчитана выше, аυ_С = 0. Для определения скорости точкиВзапишем векторные уравнения:

υ_В = υ_А+ υ_ВА  АВ

υ_В = υ_С + υ_ВС  ВС.

Начинаем построение плана скоростей. Из произвольно выбранной точки полюса Р_υпроводим вектор скоростиυ_А  ОАв сторону угловой скоростиω₁длиной [Р_υа]. Затем из точкиа проводим линию, перпендикулярную звенуАВ, а из точкиР_υ– линию, перпендикулярную звенуВС. На пересечении получаем точкув. Вектора направляем к ней (рисунок 3.14,б). Рассмотрим группу 4-5. Она является группойIIкласса 4 вида. Методика рассмотрена в п. 2.4.2,Задача 4. В точке Dсоединяется 4 звена. Поэтому будет четыре точки –D₃, D₄, D₅, D₆. Скоростьυ_D3 найдем по правилу подобия, т.к. эта точка расположена на продолжении звенаВС. Составим пропорцию по уравнению (2.43)

ℓ_ВС/ℓ_СD3 =[вс]/[Р_υd₃].

Выразив отрезок [Р_υd₃] вмм, отложим его на продолжении вектора Р_υd₃, так, чтобы порядок букв соответствовал порядку букв на схеме механизма. Далее находим точкуD₄, скорость которой равна скорости точкиD₅(υ_D4 = υ_D5). Для этого составляем векторные уравнения:

υ_D4 = υ_D3 + υ_D4D3 ВD

υ_D5 = υ_D6 + υ_D5D6х-х.

Из точкиd₃проводим линию, параллельнуюВD, а из полюса (т.к.υ_D6 = 0) проводим линию, параллельную горизонтальной линии х-х. На пересечении получаем точкуd₄=d₅. Вектора также направляем к найденной точке (рисунок 3.14, б). После построения плана скоростей, высчитываем все действительные значения линейных и угловых скоростей, а также определяем их направления:

υ_В = υ_ВC = [Р_υв] μ_υ=

υ_D5 = [Р_υd₅] μ_υ = (м/с);

υ_ВА = [ав] μ_υ =

υ_D3D4 = [d₃d₄]μ_υ =

ω₂ = υ²_ВА/ℓ_АВ =

ω₃ = ω₄ = υ²_ВС/ℓ_ВС = (с^-1).

Для определения направления угловых скоростей, нужно векторы относительных скоростей перенести в точку Ви мысленно поворачивать звеньяАВиВСотносительно точекАиС. Направлениеω₂получилось против часовой стрелки, аω₃– по часовой стрелке (рисунок 3.14,а).

Начинаем построение плана ускорений. Считаем ускорение точки а_А

а_А =аⁿ_АО =ω₁²ℓ_ОА =(м/с²).

Затем высчитываем масштабный коэффициент плана ускорений:

μ_а= а_А/[Р_аа] =

Запишем векторные уравнения ускорений для точки В:

а_В = а_А+ аⁿ_ВА АВ + а^τ_ВААВ

а_В = а_С + аⁿ_ВС ВС + а^τ_ВСВС.

Считаем нормальные ускорения в м/с²по формулам (2.38)

аⁿ_ВА= υ²_ВА/ℓ_АВ

аⁿ_ВС = υ²_ВС/ℓ_ВС,

а затем вектора нормальных ускорений в мм:

Из произвольно выбранной точки полюса Р_а откладываем вектор ускорения точки АпараллельноОАк центру вращения (к точкеО) длиной[Р_аа].Затем из точкиапроводим вектор нормального ускоренияаⁿ_ВА параллельно звенуАВк точкеАдлиной. Через конец векторапроводим линию действия тангенциального ускоренияа^τ_ВАперпендикулярно звенуАВ. После этого из полюсаР_а откладываем вектор нормального ускоренияаⁿ_ВСпараллельно звенуВСв сторону к точкеСдлиной. Через конец векторапроводим линию действия тангенциального ускоренияа^τ_ВСперпендикулярно звенуВС. На пересечении этих линий действия получаем точкув(рисунок 3.14,в). Точкуd₃находим по правилу подобия:

ℓ_ВС/ℓ_СD3 = [вс]/[Р_аd₃].

Отрезок [Р_аd₃] откладываем на продолжении вектора [Р_ав]. Для нахождения скорости точкиD₄,₅составим векторные уравнения

а_D4 = а_D3 + а^K_D4D3 + а^r_D4D3 || ВD

а_D5 = а_D6 + а^к_D5D6 + а^r_D5D6 || х-х.

Высчитываем кориолисово ускорения по формулам

а^к_D4D3=2ω₄υ_D4D3;а^к_D5D6 = 0,

а затем чертежные значения

= (мм).

Из точки d₃проводим вектор кориолисова ускорения перпендикулярно звенуВСдлиной , повернув вектор относительной скоростиυ_D4D3на 90^ов сторонуω₄. Через конец вектора проводим линию действия релятивного (относительного) ускоренияа^r_D4D3параллельно звенуВD. Затем из полюса откладываем линию действия относительного ускоренияа^r_D5D6параллельно горизонтальной оси х-х. На пересечении этих линий действия получаем точкуd_4,5. Высчитываем действительные значения всех ускорений:

а_В = [Р_ав]μ_а = (м/с²);

а_D5 = [Р_аd₅]μ_а = (м/с²);

а^τ_ВА = [n_ВАв]μ_а = (м/с²);

а^τ_ВС = [n_ВСв]μ_а= (м/с²);

ξ₂ = а^τ _ВА/ℓ_АВ = (с^-2);

ξ₃ =а^τ_ВС/ℓ_ВС = (с^-2).

Для определения направления угловых ускорений, нужно вектора тангенциальных ускорений мысленно перенести в точку Вна схеме механизма и вращать звеноАВ относительно точкиА, звеноВСотносительно точкиС. Получается, чтоξ₂ и ξ₃ направлены по часовой стрелке (рисунок 3.14,а).

Определим ускорения центров масс. Сначала отметим точки S₁, S₂, S₃, S₅на схеме механизма. Для этого вычислим расстояния:ОS₁ = ℓ_OS1/μ_ℓ,AS₂ =ℓ_AS1/μ_ℓ,CS₃ = ℓ_CS3/μ_ℓ,S₅ = D₅. Эти же точки найдем на плане ускорений по правилу подобия, используя соотношение отрезков

т. s₅ = т. d₅.

Выражаем из этих пропорций отрезки [Р_аS₁], [aS₂], [Р_аS₃] и откладываем их на соответствующих векторах плана ускорений (рисунок 3.14,в). Соединяем эти точки с полюсомР_а и высчитываем ускорения центров масс:

a_S1 = [Р_аS₁] μ_а = (м/с²);

a_S2 =[Р_аS₂]μ_а = (м/с²);

a_S3 = [Р_аS₃]μ_а = (м/с²); (3.40)

a_S5 = а_D5=[Р_аd₅]μ_а = (м/с²).

После расчетов всех скоростей и ускорений приступаем к выполнению силового расчета, т.е. к нахождению реакций и силы Р_ур.

а) Схема механизмаμ_ℓ =б) План скоростейμ_υ=

B 2 A υ_D5D3 d₃ υ_D3 P_υ υ_A a

ξ₃ ω₂ d₅ υ_BA

3 ω₃ ξ₂ 1 ω₁ υ_D5 υ_В в

C O

6 в) План ускорений μ_а =.

D у 6 k d₃

4 6 P_a

5 d₅, S₅ S₃

n_ВС

г) Структурная группа 4-5 и ее план сил в

R₃₄ μ_Р1=… S₁ S₂

P_и5 R₆₅ P_P R₃₄

D a n_ВА

G₅ R₆₅

G₅ P_и5

μ_Р2 =…

д) Структурная группа 2-3 и ее план сил Rⁿ₁₂

P^´_и2 P^´_и3 P_P

h₃ R₆₃ R₁₂

М_РИ2 G₃ R^t₁₂

h₄ B S₂ T₂ A Rⁿ₆₃

P^´_и3 Rⁿ₁₂ R₄₃ G₂

М_Ри3 S₃ K₃ R₆₃ G₂ R^t₁₂ R₁₂ R^t₆₃ P^´_и2

R^t₆₃ C ж) Рычаг Жуковского μ_υ=…

h₂ h₁ P_и5

Rⁿ₆₃ G₃ d₅ d₃

G₅

R₄₃

P_υ h₁

е) Механизм I класса и его план сил Р_и3 h₅

R₂₁ μ_Р3 =… P_P Р_и1

P_и1 R₆₁ Р^´_и3 s₃ s₁

A h₂ k₃ G₁

P_ур s₁ R₆₁ G₁ G₃ Р^´_и2

O R₂₁ в s₂ t₂ a

G₂ h₄

h₁ P_и1 P_ур h₃ h₂

G₁

Рисунок 3.14 - Пример силового расчета шестизвенного механизма

3. Силовой (кинетостатический) расчет шестизвенного механизма.

Определяем силы тяжести: G₁ = m₁g= (H),G₂ = m₂g= (H),

G₃ = m₃g= (H),G₅ = m₅g= (H).

Определяем силы инерции: Р_и1 = -m₁a_S1 = (Н),Р_и2 = -m₂a_S2 = (Н),

Р_и3 = -m₃a_S3 = (Н),Р_и5 = -m₅a_S5 = (Н).

Определяем моменты от сил инерции: М_Ри2 = -ξ₂J_S2= (Нм),

М_Ри3 = -ξ₃ J_S3= (Нм),М_Ри1 = М_Ри4 = М_Ри5 = 0.

Определяем направление моментов. Момент от силы инерции направлен в противоположную сторону угловому ускорению. Т.е.: М_Ри2и М_Ри3 направлены против часовой стрелке (рисунок 3.14,а).

Определяем реакции в кинематических парах. Для этого выполняем структурный анализ (глава 1, §1.7). В данном механизме имеется одна структурная группа IIкласса 1 вида и одна структурная группаIIкласса 4 вида. Как указывалось в п. 3.1.4.1, силовой расчет начинаем с последней группы, т.е. с группы 4 вида. Порядок проведения силового расчета данной структурной группы рассмотрен в п. 3.1.4.3,Задача 4. Изображаем структурную группу в том же масштабе и том же положении, что и схема механизма (рисунок 3.14,г). ПрикладываемG₅вертикально вниз иР_и5в обратную сторону векторуа_D5. Составляем векторное уравнение плана сил, из которого находимR₆₅иR₃₄:

,.

Высчитываем масштабный коэффициент плана сил μ_Р1 =Р_и5/[Р_и5] =(Н/мм). Затем считаем вектор силы тяжести [G₅] =G₅/μ_Р1 = (Н). Построение начинаем согласно уравнению с вектораG₅. К концу вектораG₅прикладываем векторР_и5. Направление реакций нам известны:R₆₅направлена вертикально,R₃₄направлена перпендикулярно звенуВD(глава 3, п. 3.1.4.1). Поэтому из начала построения проводим линию действияR₃₄перпендикулярноВD, а из концаР_и5– линию действияR₆₅вертикально. Точка пересечения даст началоR₃₄и конецR₆₅(рисунок 3.14,г). Определяем действительные значения реакций

R₆₅ = [R₆₅] μ_Р1 = (Н);

R₃₄ = [R₃₄] μ_Р1 = (Н).

Приступаем к силовому расчету структурной группы 1 вида (группа 2-3). Изображаем ее в том же масштабе, что и схема механизма (рисунок 3.14, д). В точкеS₂прикладываемG₂вертикально внизР_и2 в обратную сторону векторуa_S2. В точкуS₃прикладываемG₃ иР_и3. Прикладываем направления моментов. Заменяем момент инерции и силу инерции одной силой, приложенной не в центре масс. Для шатуна имеем:h_Ри2 = М_Ри2/Р_и2μ_ℓ =(мм); для кулисы -ℓ_СК3 = ℓ_СS3+(Ј_S3/m₃ℓ_СS3)= (м). Переносим силуР_и2 параллельно самой себе на величинуh_Ри2, получаем замененную силуР′_и2и точку ее пересечения со звеномАВ(точкуТ₂). Для нахождения точки приложенияР′_и3необходимо от точкиСв сторону к точкиВотложить расстояниеСК₃ = ℓ_СК3/μ_ℓ = (мм) и перенести силуР_и3параллельно самой себе в точкуК₃. По величине и направлению замененные силы будут равны действительным, т.е.:

Р′_и2 = Р_И2;Р′_и3 = Р_и3.

Прикладываем реакции: в точках АиСбудут действовать нормальные составляющиеRⁿ₁₂иRⁿ₆₃, направленные параллельно звеньям, и тангенциальные составляющиеR^t₁₂иR^t₆₃, направленные перпендикулярно звеньям. В точкеDбудет действовать реакцияR₄₃, которая равна по величине реакцииR₃₄, но противоположна по направлению:R₄₃ = -R₃₄.

Далее расчет ведем аналогично п. 3.1.4.3, Задача 1. Составляем уравнения моментов каждого из звеньев относительно точки В:

= 0,R^t₁₂ АВ - Р′_и2h₃ + G₂ h₁ = 0;

= 0,R^t₆₃ СВ - Р′_и3h₄ + G₃h₂ + R₄₃CD = 0.

Из этих уравнений выражаем тангенциальные реакции. Составляем векторное уравнение плана сил:

,.

Высчитываем масштабный коэффициент плана сил

μ_Р2 = R^t₁₂/[R^t₁₂] = (Н/мм).

Построение векторного многоугольника начинаем с реакции R^t₁₂. Далее к концу каждого вектора прибавляем следующий согласно уравнению. Вектора сил переносим параллельно со структурной группы. Дины векторов высчитываются по формуле

[G₂] =G₂/μ_Р2 = (мм), [Р′_и2] =Р′_и2/μ_Р2 = (мм) и т.д.

Затем из начала построения проводим линию действия Rⁿ₁₂параллельноАВ, а из конца построения – линию действияRⁿ₆₃параллельноBD. На пересечении получаем точку, которая является началомRⁿ₁₂и концомRⁿ₆₃. Соединяем началоRⁿ₁₂с концомR^t₁₂– получаем вектор реакцииR₁₂. Соединяем началоR^t₆₃с концомRⁿ₆₃– получаем векторR₆₃(рисунок 3.14, д). Найдем реакцию во внутреннем шарниреR₂₃(см. п.1.4.3,Задача 1). Составим уравнение:

,.

Находим действительные значения полученных реакций

R₁₂ =[R₁₂]μ_Р2 =

R₆₃ = [R₆₃]μ_Р2 =(Н).

R₂₃ = [R₂₃]μ_Р2=

Приступаем к силовому исследованию ведущего звена (механизму Iкласса). Изображаем кривошип с опорой в том же масштабе и положении. В точкуS₁прикладываем силу тяжестиG₁вертикально вниз и силу инерцииР_и1, которая параллельна ускорениюa_S1, но направлена в противоположную сторону. К точкеАприкладываем реакциюR₂₁, которая по величине равнаR₁₂, но противоположна по направлению (R₂₁=-R₁₂). В точкуАприкладываем и уравновешивающую силуР_ур, которая направлена перпендикулярно звенуОА(рисунок 3.14,е). Силовой расчет проводим по 1-му методу (п. 3.1.5). Составляем уравнение моментов относительно точкиО:

∑М^._О = 0,Р_урОА - R₂₁h₂ + G₁h₁ = 0,

из которого выражаем уравновешивающую силу Р_ур. Составляем векторное уравнение механизмаIкласса:

,.

План сил строим аналогично (см. п. 1.4.3). Соединяя начало вектора силы Р_урс концом вектораR₂₁, получаем вектор реакцииR₆₁и находим действительное ее значение

R₆₁ = [R₆₁]μ_Р3 = (Н).

Итак, мы определили реакции в кинематических парах и Р_урметодом планов. Рассчитаем уравновешивающий момент

М_ур=Р_урℓ_OA=(Нм)

и мощность двигателя

N_дв= М_урω₁= (Вт).

Теперь выполним проверку определения Р_урметодом Н.Е.Жуковского.

4. Рычаг Н.Е. Жуковского.Строим план скоростей, повернутый на 90^ов сторону вращения угловой скорости (можно в обратную) относительно точки полюсаР_υ. Точкиs₁, s₂, s₃, t₂иk₃находим по п.2.правила подобия (п. 2.4.2):

ℓ_OS1/ℓ_OA=[Р_υs₁]/[Р_υa];

ℓ_AВ/ℓ_AS2=[aв]/[as₂];

ℓ_CS3/ℓ_BC=[Р_υs₃]/[Р_υв];

ℓ_AВ/ℓ_AТ2=[aв]/[at₂];

ℓ_CК3/ℓ_BC=[Р_υk₃]/[Р_υв].

Определяем отрезки [Р_υs₁], [as₂], [Р_υs₃], [at₂], [Р_аk₃] вмми отмечаем их на соответствующих векторах. Со структурных групп и с механизмаIкласса параллельно переносим все силы. Силы тяжестиG₁, G₂, G₃прикладываем в точкиs₁, s₂, s₃; силу инерцииР′_и2прикладываем в точкуt₂;Р′_и3– в точкуk₃;Р_и1– в точкуs₁;G₅иР_и5– в точкуd₅;Р′_ур– в точкуa.Реакции не прикладываются! Составляем сумму моментов относительно полюсаР_υ:

М_Рυ= 0,Р′_ур[Р_υa]+G₁h₁-G₂h₂-G₃h₃+ Р′_и2h₄+ Р′_и3h₅+ Р_и5[Р_υd₅] = 0

и выражаем Р′_ур. Рассчитаем процент ошибки между двумя методами. Расхождение не должно составлять более 5%:

Δ=(Р_ур- Р´_ур)/ Р_ур≤5%.

Определяем мощность двигателя

N_дв = Р_ур υ_А.= (Вт).

На этом силовой расчет шестизвенного механизма считается законченным.