Лекция 9. Волновые процессы.

1. Колебания.

Любой периодический, повторяющийся во времени процесс называется колебаниями.

Колебания имеют различную природу, но их математическое описание одинаково. Это позволяет пользоваться простейшими и наглядными моделями – математическим и пружинным маятниками – и проводить аналогию с механическими колебательными системами в других, менее очевидных ситуациях.

Самый простой случай колебаний – это свободные, незатухающие гармонические колебания. Условия для их возникновения следующие:

• Однократное воздействие внешней силы, задающее начальные условия. Затем система должна быть предоставлена самой себе.

• Наличие в системе только консервативных сил. Очевидно, что в природе это условие не выполняется.

• Наличие обратной связи. Возвращающая сила должна быть все время направлена в сторону устойчивого положения равновесия.

• Отклонения системы от положения равновесия должны быть достаточно малы.

В случае соблюдения указанных условий колеблющаяся величина (например, координата тела) описывается простейшей гармонической функцией:

или ,

где каждый параметр имеет свое название:

х – смещение,

А – амплитуда (максимальное смещение),

=  - фаза (от греческого “фазис” – состояние), имеет размерность угла “радиан”, т.е. безразмерна, изменяется от ₀ до  и определяет состояние системы,

₀ =  (t = 0) – начальная фаза (определяется начальными условиями),

₀ - собственная круговая (циклическая) частота колебаний, зависящая от свойств самой системы. Размерность ₀= рад/с или 1/с.

Фазу колебаний можно записать и по-другому:

.

Здесь Т – период колебаний, показывающий, за какое время совершается одно полное колебание, а  = 1/Т – частота, показывающая, сколько колебаний совершается за единицу времени. [Т] = с, [] = 1/с = Гц.

2. Скорость и ускорение при колебаниях. Фазовое пространство.

Скорость и ускорение при колебаниях находят так же, как и для любого другого движения:

, откуда v_max = A₀,

, откуда a_max = A₀².

Отложим по оси абсцисс в декартовой системе координат смещение x, а по оси ординат – скорость v колеблющейся системы. В общем случае мы получим систему эллипсов. Пространство с координатами (х,v) называется фазовым.

3. Свободные гармонические затухающие колебания и вынужденные колебания.

В реальных системах всегда имеются неконсервативные силы. Поэтому закон сохранения механической энергии в них не выполняется; говорят, что имеет место диссипация энергии, а сами системы называют диссипативными. В таких системах амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, и колебания в конце концов прекратятся (затухнут). Полная повторяемость процессов в диссипативных системах отсутствует, но можно говорить о частичной, приблизительной повторяемости, и такие процессы также относят к классу колебаний.

Учет неконсервативных сил, т.е. сопротивления, приводит к следующей зависимости смещения от времени:

,

где  – коэффициент затухания, который определяется сопротивлением, а частота отличается от собственной частоты ₀. Видно, что движение будет периодическим только при ₀ >  (при достаточно малом сопротивлении).

График зависимости смещения от времени для затухающих колебаний выглядит следующим образом:

Амплитуда убывает тем быстрее, чем больше сопротивление.

Чтобы компенсировать потери энергии в колебательной системе, в технических устройствах используют работу периодически действующей силы F = F₀cos(t). Эта внешняя по отношению к системе сила после того, как собственные колебания системы вследствие диссипации затухнут, вынуждает ее колебаться с частотой . Поэтому силу называют вынуждающей, а сами колебания – вынужденными. Амплитуда вынужденных колебаний зависит и от свойств самой системы, и от величины сопротивления, и от частоты вынуждающей силы : А = А(₀,,). Можно показать, что при определенных соотношениях между этими параметрами произойдет резкое возрастание амплитуды. Это явление носит название резонанс и может играть как позитивную, так и негативную роль в различных ситуациях.

Кроме упомянутых, в физике рассматриваются также параметрические и автоколебания.

Колебания, распространяемые автоволнами (см. п.7 данной лекции), называются автоколебаниями. Для их возникновения требуется, чтобы в системе существовала обратная связь. Амплитуда, фаза и частота автоколебаний, в отличие от свободных и вынужденных колебаний, зависит только от свойств системы и не зависят от начальных условий. В фазовом пространстве они представляют собой замкнутую траекторию, к которой стремятся все соседние траектории – так называемый устойчивый предельный цикл. Пример автоколебаний – движение маятника часов.