3.15 Вращение частицы в трехмерной графике

Опыт изучения школьного курса физики свидетельствует о том, понятия векторной величины и векторного уравнения, переход к соответствующим скалярным уравнениям в проекциях на координатные оси и вызывают у школьников определенные затруднения [34]. Это связано с методической проблемой межпредметных связей физики и математики в вопросах векторной алгебры и аналитической геометрии, а также дидактической проблемой наглядности изучения физических процессов в трехмерном пространстве. Решение поставленных педагогических задач возможно в системах ИКГ, встроенных в современные математические программы и пакеты.

Рис.30. Векторные величины в трехмерной графике

Рис.31. Спираль траектории частицы в магнитном поле

При решении задач в электродинамике ИКГ- система дает весьма наглядное представление о траектории заряженной частицы в магнитном поле под действием силы Лоренца как векторного произведения (рис. 31).

4. Вероятностно-статистическая линия математического моделирования

Теория вероятностей - это наука о математических закономерностях случайных явлений и процессов. Речь идет о явлениях, наблюдения над которыми не всегда приводят к одним и тем же результатам, но для которых при массовом повторении наблюдений определенные результаты повторяются примерно в одной и той же доле случаев. Результат наблюдения (эксперимента) называют случайным событием, если он заранее не предопределен [17].

В теории вероятностей случайные события описываются с помощью множеств, и каждому случайному событию приписывается числовая характеристика Р(А), называемая вероятностью этого события и оценивающая «степень случайности».

Таким образом, осуществляется переход от реальных физических явлений к их абстрактным математическим моделям («вероятностным» моделям). Построение вероятностных моделей и математический анализ закономерностей для Р(А) составляют основное содержание теории вероятностей, а многие физические задачи и эксперименты являются приложениями стохастического моделирования и математической статистики.

Первые попытки определить вероятность случайного события математическими методами были сделаны в переписке известных ученых Б. Паскаля и П. Ферма в 1654 году. Первая книга по теории вероятностей была издана X. Гюйгенсом в 1657 году, а первые реальные эксперименты по теории вероятностей проводились французским исследователем Бюффоном в 18 веке. Приведенное ниже определение вероятности было дано Я. Бернулли в 1713 году.

Пусть некоторый эксперимент имеет конечное, не равное нулю, число попарно несовместных исходов. Назовем их элементарными событиями. Объединение всех элементарных событий назовем пространством элементарных событий и. Совокупность всех подмножеств , включающая само  и пустое множество, очевидно, является полем событий. Обозначим это поле через F. Допустим далее, что все элементарные события равно возможны в силу объективных возможно физических причин. Тогда, по определению, вероятностью события А из F назовем число , где М(А) обозначает число благоприятных исходов (элементов в множестве А), М(] — число элементов в , образующих полную группу. Совокупность (, F, P) называется классической вероятностной моделью.

В физическом эксперименте, как правило, измеряется непрерывная случайная величина с характерной непрерывной функцией распределения и плотностью вероятности. Часто измерения при большой выборке (n>30) распределены по нормальному закону , причем, доверительный интервал (случайная погрешность) , где , а - заданная доверительная вероятность, Ф(t)- функция Лапласа. Таким образом, в физическом эксперименте мы можем определить доверительный интервал, который с определенной надежностью покрывает истинное значение измеряемой величины.

Рис.32. Классическая плотность вероятности гармонического осциллятора и гистограмма измерений

Заметим, что в физических задачах встречаются и другие функции распределения. Например, координата классической частицы в глубокой прямоугольной потенциальной яме равномерно распределена, плотность вероятности квантовой частицы является периодической функцией координаты, а классический гармонический осциллятор имеет нестандартную функцию плотности распределения , удовлетворяющую условию нормировки . Подобное распределение встречается в опытах по вращательной броуновской динамике с крутильным маятником [54].

Генерация выборки измерений с заданным распределением сводится к решению уравнения (рис.32). Экспериментальное изучение статистики физических измерений с помощью построения гистограмм на компьютере, оценка точности опыта являются важным аспектом практических задач вычислительной физики.