3.12 Цепочка Ферми-Паста-Улама

Одним из центральных в современной физике является представление о нелинейных явлениях, в частности, о механизмах рассеяния носителей заряда в физике конденсированного состояния. В этой связи необходимо понимание того, что в идеально-периодической структуре (идеальный кристалл) электронная волна распространяется без рассеяния, и последнее возникает на структурных неоднородностях.

Рис.27. Модель волновых процессов в физике твердого тела

Для формирования понятий и представлений в физике конденсированного состояния может быть полезна известная механическая модель^_ цепочка Ферми-Паста-Улама с системой дифференциальных ньютоновских уравнений: , и однородными граничными условиями (рис. 27).

Очевидно, размерность фазового пространства исторических задач вычислительной физики ограничивалась техническими возможностями первых ЭВМ. Сегодня использование современных компьютерных технологий позволяет «качать» сотни связанных осцилляторов наблюдая нелинейные волновые процессы средствами интерактивной графики.

Рис.28 . Колебания и линейная регрессия в цепочке связанных осцилляторов

Причем, оптимальная техника программирования в системах компьютерной алгебры (например, в Maple) обеспечивает минимальный размер файла программы учебного вычислительного эксперимента, текст которой состоит из нескольких строк, написанных на удобном алгоритмическом языке.

Слайд 23. Программирование цепочки Ферми-Паста-Улама

3.13 Линейная цепочка связанных осцилляторов

Указание. Рассмотрите следующие случаи:

• два связанных осциллятора. Начальные скорости обеих частиц задавайте равными нулю; х₁(0)=0.5, х₂(0)=0; к=1; m=1. Постройте графики смещений частиц, определите период колебаний. Выберите начальные условия: х₁(0)=0.5, х₂(0)=0.5. Постройте графики полной энергии колебаний как функции времени. Определите период колебаний;

• три связанных осциллятора. Выполните программу с N=3 и произвольными, но не нулевыми начальными смещениями. Опишите зависимость смещения частиц от времени. Рассмотрите следующие начальные условия и определите соответствующие нормальные частоты. Начальные скорости равны нулю.

Случай	х1(0)	х2(0)	х3(0)
1	0.5	0.5	0.5
2	0.5	-0.5	0.5
3	0.5	0	-0.5

• Возьмите N=10. Определите нормальные колебания. Сравните полученные результаты с теоретическим результатом , n=1…N.

• Исследуйте скорость распространения возмущения в цепочке. Создайте возмущение х₁(0)=1, к=1. Графически оцените, через какое время начинают колебаться частицы цепочки. Проведите моделирование и оцените скорость возмущения для различных значений жесткости пружин.

• Рассмотрите «неупорядоченную» систему со случайными массами. Исследуйте влияние беспорядка на скорость распространения возмущения (эксперименты Уильямса и Мариса, 1985 г.).