4.2. Плотность распределения

Плотностью распределения (дифференциальным законом распределения) непрерывной случайной величины Х называется первая производная от функции распределения

.

График плотности распределения называется кривой распределения.

Свойства плотности распределения.

5. Если между двумя случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость Y=φ(Х), то взаимосвязь между плотностями распределения р(х) и р(у) задается формулой

Действительно, пусть с ростом Х растет Y. Тогда F(x)=F(y)=F(φ(x)) (см. свойства функции распределения). По правилу дифференцирования сложной функции находим

или, поскольку y = φ(x),

В случае, если с ростом Х величина Y убывает, первая производная dy/dx < 0, но плотность p(x) > 0. Поэтому в общем случае первая производная берется по абсолютной величине.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Из равенства функций распределения F(x) = F(lnx) требуется найти соотношение между плотностями p(x) и p(lnx).

Дифференцируя последнее равенство по x, имеем:

откуда xp(x) = p(lnx).

Пример 2. Задана плотность распределения (показательный закон)

.

Найти: N – нормирующий множитель; F(x) – функцию распределения; вероятность попадания случайной величины Х на интервал 3<x<5.

Используем свойства плотности:

.

Отсюда N = , т.е.

.

Далее функция распределения равна

.

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал равна

.

Пусть далее некоторая случайная величина Y связана со случайной величиной Х зависимостью Y=1/X.

Найдем функцию распределения F(y) и плотность р(у).

Так как здесь с ростом Х величина Y убывает, то

.

Но Х=1/Y, поэтому

.

Отсюда плотность р(у) равна

.

Плотность р(у) можно найти непосредственно по плотности р(х).

Поскольку Х=1/Y, dх/dy=–1/y², то

.

4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Для возможно более полного и всестороннего описания случайных величин используют различные показатели. К ним относятся:

характеристики положения – математическое ожидание, мода, медиана;

характеристики вариации – дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

характеристики формы распределения – коэффициенты асимметрии и островершинности, которые выражаются через моменты.

Математическое ожидание случайной величины Х задается интегралом

.

Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины те же, что и дискретной случайной величины.

Мода – такое значение случайной величины, при котором плотность максимальна.

Медиана (Ме) случайной величины Х определяется соотношением

P(X<Me)=P(X>Me).

Она делит площадь под кривой распределения пополам.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х задается формулой

, где

Коэффициент вариации

- выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения случайной величины Х к ее математическому ожиданию.

Центральные моменты r-го порядка (r = 2,3,4) задаются формулой

.

Заметим, что .

Коэффициент асимметрии (скошенность)

или .

Коэффициент островершинности (эксцесс)

или .