8.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного

Распределениe среднего выборочного зависит от распределения самой случайной величины Х и от объема выборки n.

Пусть статистическое распределение случайной величины Х задается таблицей 8.2.7, где n = 25.

Требуется найти выравнивающее распределение среднего .

Для его нахождения достаточно по моментам случайной величины Х вычислить моменты случайной величины .

Используя формулы (7.4.47), найдем:

Тогда показатели асимметрии и островершинности будут равны

.

Выравнивающее распределение случайной величины относится к I типу, оценки параметров и нормирующий множитель которого равны:

.

Поскольку полученное распределение весьма близко к нормальному, его можно заменить нормальным

,

где ν₁ = 3; α = 1/2m_2(n) = 11,1607.

Нормирующий множитель

Последнюю плотность обычно записывают в виде

,

где .

Задавая далее доверительную вероятность, например, Р = 0,9, найдем доверительные границы для среднего выборочного:

.

8.3. Прогнозирование распределений

Знание характерных особенностей каждой системы непрерывных распределений позволяет осуществлять прогноз распределения.

Рассмотрим первую и вторую системы непрерывных распределений.

8.3.1. Первая система непрерывных распределений

Пусть распределение случайной величины Х описывается первой системой непрерывных распределений, причем тип выравнивающей кривой и оценки ее параметров заданы.

Пусть далее известно, что все значения х_i (i = 1,2,…,n) изменятся на постоянную величину С.

Требуется найти распределение случайной величины Х + С.

Рассмотрим первую плотность первой системы непрерывных распределений

.

Обозначим новое значение случайной величины Х через Х*, при этом

Х*=Х+С. (8.3.1)

Тогда распределение новой случайной величины Х* определится по формуле

. (8.3.2)

Поскольку на основании (8.3.1) dх/dх* = 1, то

p(х*) = p(х), (8.3.3)

или с учетом плотности р(х) и (8.3.1)

(8.3.4)

Введя обозначения

, (8.3.5)

последнюю плотность перепишем в виде

. (8.3.6)

Таким образом, смещение случайной величины Х на постоянную С приводит к изменению параметра сдвига α и нормирующего множителя N. Параметры формы k, u не изменяются, т.е. не изменяется форма кривой распределения и, следовательно, характеризующие ее показатели (центральные моменты 2-4 порядков и др.).

Поскольку случайные величины Х и Х* связаны функциональной зависимостью, причем с ростом Х растет и Х*, то их функции распределения равны

F(x*) = F(x). (8.3.7)

Аналогично найдем, что при увеличении случайной величины Т на постоянную С, т.е. при Т*=Т+С параметры положения (сдвига) второй и третьей плотностей первой системы непрерывных распределений будут равны

. (8.3.8)

Остальные параметры и нормирующий множитель останутся без изменения. При этом вторая и третья плотности первой системы непрерывных распределений примут вид

, (8.3.9)

. (8.3.10)

Чтобы рассчитать новые значения плотности распределения с учетом смещения С, в случае первой системы непрерывных распределений достаточно сместить на С значения случайной величины без изменения значений плотности распределения.

Если распределение случайной величины Х задано моментами , то ими можно воспользоваться для прогнозирования распределения.

Пусть . Найдем центральные моменты :

.

Таким образом, в случае сдвига случайной величины Х на постоянную С центральные моменты, а также среднее квадратическое отклонение, не изменятся. Изменится только среднее, что повлечет за собой изменение коэффициента вариации.

По известным моментам случайной величины Х*=Х+С легко найти выравнивающее прогнозируемое распределение.

Рассмотрим далее случай, когда последующие значения случайной величины Х образуются из предыдущих путем их умножения на постоянную величину С: .

Тогда ,

.

Показатели асимметрии и островершинности не изменятся:

По известным моментам случайной величины Х легко находятся моменты случайной величины . Далее по методу моментов нетрудно найти выравнивающее распределение.

Отметим, что в этом случае коэффициент вариации не изменится, поскольку и среднее, и среднее квадратическое отклонение увеличиваются в С раз.