- •В.В. Нешитой
- •Методы статистического анализа
- •На базе
- •Обобщенных распределений
- •Предисловие
- •Введение
- •I. Случайные события и их вероятности
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •II. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •2.2. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •III. Дискретные случайные величины
- •3.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.2.1. Математическое ожидание
- •3.2.2. Свойства математического ожидания
- •3.2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.2.4. Свойства дисперсии
- •3.2.5. Среднее квадратическое отклонение
- •3.2.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •3.2.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •4.2. Плотность распределения
- •4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •4.4. Примеры непрерывных распределений
- •4.4.1. Нормальный закон
- •5.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •5.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •5.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •5.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •VI. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •6.1. Методы построения обобщенных распределений
- •6.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •6.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •6.4. Распределения функций случайного аргумента
- •6.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в. Нешитого
- •VII. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •7.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •7.3. Классический метод моментов
- •7.3.3. Симметричные распределения Ic-iiIc типов
- •7.3.4. Критерии для классификации кривых по методу моментов
- •7.4. Универсальный метод моментов
- •7.4.1. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •7.4.2. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •7.4.3. Законы распределения среднего выборочного
- •7.5. Общий устойчивый метод
- •VIII. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •8.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •8.2. Построение выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •8.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •8.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •8.2.3. Выравнивание по общему устойчивому методу
- •8.2.4. Выравнивающее распределение суммы независимых случайных величин
- •8.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •8.3. Прогнозирование распределений
- •8.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •8.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу
- •8.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •Iх. Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов на базе обобщенных распределений
- •9.1. Показатели состояния технологического процесса
- •9.2. Пример статистической обработки результатов замера контролируемого параметра по программе
- •Контрольный листок Деталь №_____(название) ø50 мм ±0,012 Точность си 0,002 Дата________ Время_______
- •Отклонения от номинального размера детали «nn» ø50 ±0,012
- •Показатели статистического распределения ( )
- •9.3. Экономическая эффективность применения обобщенных распределений
- •9.4. Особенности применения статистических методов в области строительства
- •Х. Надежность как особый критерий качества
- •10.1. Некоторые показатели надежности для невосстанавливаемых объектов
- •Плотность распределения отказов
- •Интенсивность отказов
- •Гамма-процентный ресурс
- •10.2. Вычисление показателей надежности по обобщенным распределениям
- •Результаты наблюдений о наработке до отказа двигателей панелевозов (ti – пробег до отказа в тыс. Км.; mi – число панелевозов, имеющих наработку ti)
- •Показатели статистического распределения (snr2v97)
- •Логарифмическое распределение типа 1.1 с параметрами
- •XI. Временные (динамические) ряды
- •11.1. Методы выделения тренда
- •11.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •11.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •11.2.2. Метод обобщения
- •11.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •11.3. Оценивание параметров кривых роста
- •11.3.1. Уравнение прямой
- •11.3.2. Экспонента
- •11.3.3. Обобщенная кривая роста
- •11.4. Прогнозирование временных рядов
- •11.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •11.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по методу моментов
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по общему устойчивому методу
- •Значения квантили в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободы r
- •Приложение 5
- •Литература
- •Содержание
7.3.3. Симметричные распределения Ic-iiIc типов
Рассмотрим симметричные распределения Ic-IIIc типов, заданные плотностью
(7.3.43)
или в дифференциальной форме
.
Запишем последнее уравнение в виде
.
Умножим обе части полученного равенства на tr и проинтегрируем на бесконечном интервале. В результате получим
. (7.3.44)
При r=1 и r=3 из (7.3.44) найдем
, (7.3.45)
. (7.3.46)
Тогда показатель островершинности будет равен
. (7.3.47)
Последняя формула совпадает с формулой (7.3.14). Величина в зависимости от типа распределения принимает значения (при u>–2/3, или ): - для Ic типа; =3 – для IIc типа (нормального закона); >3 – для IIIc типа.
Отсюда следует, что показатели могут служить критериями для различения распределений Ic-IIIc типов.
Выразим параметры симметричных распределений Iс-IIIc типов через их центральные моменты.
В случае нормального закона (тип IIc) оценка параметра α равна
. (7.3.48)
Оценки параметров α, u распределений Ic, IIIc типов равны
, (7.3.49)
, (7.3.50)
при этом остается также справедливой общая формула
, (7.3.51)
полученная ранее для распределений I-III, I, II типов при .
Действительно, поскольку для симметричных распределений показатель , то на основании (7.3.8) имеем:
.
Тогда формула (7.3.51) в этом частном случае примет вид
,
что совпадает с (7.3.50).
Таким образом, показатели L, u могут служить критериями для классификации как симметричных распределений с параметрами , так и других распределений I-III, I, II типов с параметром .
7.3.4. Критерии для классификации кривых по методу моментов
Все распределения, рассмотренные в п.7.3.1 – 7.3.3, могут быть разделены на типы с помощью критериев L, u, введенных автором.
Критерий L выражается через показатели асимметрии 1 и островершинности 2
.
При (в случае симметричных распределений) показатель , т.е. он совпадает с показателем островершинности.
Критерий (он же параметр) u задается формулой
,
где величины А,…,Е или А*,…Е* вычисляются по формулам (7.3.7) или (7.3.8).
На рис. 7.3.1 дана классификация распределений с параметром , а также симметричных распределений, для которых критерий L задается формулой .
Рис. 7.3.1. Классификация распределений по критериям u, L.
Эти же распределения можно классифицировать по критериям (рис.7.3.2). В этом случае распределения II типа представлены прямой . Распределения II типа – кривой
.(7.3.52)
Последняя формула является следствием равенства В2–4АС=0, справедливого для кривых II типа.
Р ис. 7.3.2. Классификация распределений по критериям β1, β2.
Распределения III и I типов занимают одну и ту же область между распределениями II и II типов, поскольку кривая I типа при β=1 представляет собой соответствующую кривую III типа, но смещенную вдоль оси абсцисс на величину –1/αu>0.
Распределения I типа занимают область между двумя прямыми - и , при этом распределения Ic типа (при ) находятся на интервале 1,8<β2<3 оси ординат. Выше кривой II типа находится область распределений, для которых дискриминант В2–4АС<0.
Эту область покрывают распределения III-V типов, принадлежащие трем основным системам непрерывных распределений. На рис. 7.3.2 последние расположены ниже прямой β2=6+0,75β1. Распределения IV типа (при ) лежат на прямой β2=5+β1.
Сделаем некоторые выводы.
Рассмотренный выше классический метод моментов оценивания параметров имеет существенные недостатки. Во-первых, он применим лишь к распределениям, имеющим моменты вплоть до четвертого порядка, при этом параметр . Во-вторых, метод моментов весьма чувствителен к выбросам на концах статистического распределения, т.е. он не относится к устойчивым методам оценивания параметров.
Как показала практика, этот метод хорошо работает в случае выравнивающих распределений I типа, заданных на ограниченном с обеих сторон интервале, особенно если распределение близко к симметричному.
Для того, чтобы полнее использовать возможности обобщенных распределений по выравниванию статистических рядов распределения, необходимо иметь общие методы оценивания параметров для распределений всех типов, в том числе не имеющих моментов выше нулевого порядка (в традиционном их понимании). Методы должны быть общими для трех плотностей (6.2.8), (6.4.3), (6.4.4).
Ниже рассматриваются два таких метода, разработанные автором.