8.2.3. Выравнивание по общему устойчивому методу

Рассмотрим примеры на выравнивание статистических распределений с помощью первой и второй систем непрерывных распределений по программам SNR1V97 и SNR2V97.

Пример 1. На основании статистических данных о распределении предела прочности на растяжение портландцементного раствора 28-дневного возраста (см. табл. 8.2.3) найдем по формулам (7.5.13), справедливым для первой системы непрерывных распределений, статистические показатели

.

Приравнивая эти показатели соответствующим теоретическим, по номограмме (Приложение 3) устанавливаем, что выравнивающее распределение относится ко II′ типу, поскольку показатель асимметрии . Первое приближение параметра (по номограмме). Программа V97 дает: k = 18,078269.

Теперь нетрудно вычислить оценки параметров β, γ, α и нормирующего множителя N. Используя формулы

, справедливые для распределений II′ типа, найдем:

.

Выравнивающее распределение задается плотностью

.

Если теперь рассчитать значения плотности распределения в серединах интервалов и вычислить критерий согласия К. Пирсона, то получим: . При числе степеней свободы r=10–3–1=6 это соответствует вероятности , т.е. нет оснований отвергать гипотезу о согласии выравнивающего распределения со статистическим.

Напомним, что при выравнивании по классическому методу моментов была получена вероятность , при этом выравнивающее распределение относилось к типу I с параметром β=1.

Если вычислить по программе нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала при Р = 0,9545, то получим: х_н=17,15092; х_в = 25,05979. Ширина доверительного интервала равна 7,908873 и составляет 4,071323 средних квадратических отклонений. Эти данные близки к результатам, полученным ранее по классическому методу моментов.

Пример 2. На основании статистических данных о распределении предела прочности на сжатие портландцементного раствора 28-дневного возраста (см. табл. 8.2.5) найдем статистические показатели (для первой системы непрерывных распределений):

Приравнивая их теоретическим, по номограмме (Приложение 3) устанавливаем, что выравнивающее распределение относится к III типу. Поскольку показатель асимметрии В* < 0, то вначале при условии В* > 0 находим оценки параметров k′, u, затем вычисляем оценку параметра k по формуле .

Итак, в первом приближении из номограммы находим: . После уточнения по методу Ньютона (по программе ) имеем: u = – 0,1301965; k′ = 3,574764. Тогда k = 5,105934.

Оценки параметров β, γ, произведения αu и нормирующего множителя N рассчитываются по формулам

,

справедливым для распределений III типа. В результате вычислений по той же программе получим:

.

Выравнивающее распределение задается плотностью

.

В данном примере критерий , что соответствует вероятности (при числе степеней свободы r = 11– 4 – 1 = 6).

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала при P = 0,9545 равны: x_н = 248,2865; x_в = 388,6001. Ширина интервала равна 140,3137 и составляет 3,999015 средних квадратических отклонений.

Эти данные близки к результатам, полученным выше по универсальному методу моментов.

Пример 3.

Распределение строка службы электрических ламп [8, c.128] задано таблицей 8.2.6 (графы 2, 3). В таблице указаны значения середины интервалов при постоянной ширине интервала 200 часов.

Табл. 8.2.6

Распределение срока службы электрических ламп

ti	Срок службы, час.	Частота	Теорет. плотность p(ti)	Теорет. частота mi=p(ti)Mh
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33	100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 2700 2900 3100 3300	10 20 24 25 20 18 11 8 5 5	0,00017 0,00418 0,01678 0,03717 0,05857 0.07270 0,07520 0,06739 0,05397 0,03961 0,02722 0,01783 0,01129 0,00699 0,00427 0,00259 0,00157	11,89 18,74 23,26 24,06 21,56 17,27 12,68 8,71 5,71 3,61	0,09 0,30 0,08 0,02 0,04 0,11 0,03 0,22 0,06 0,09 0,54 1,90

Пусть выравнивающее распределение задается обобщенной плотностью

,

которая относится ко второй системе непрерывных распределений.

Для удобства расчетов разделим эмпирическую величину t на 100. От этого значения параметров k, u, β не изменятся. Не изменятся также показатели . Но значения плотности р(t) увеличатся в 100 раз (одновременно с таким же уменьшением ширины интервала).

По данным табл. 8.2.6 с учетом последних замечаний вычислим статистические показатели по формулам (7.5.15):

Приравнивая эмпирические показатели теоретическим, по номограмме (Приложение 3) находим: . Выравнивающее распределение относится к III типу. Более точные значения параметров u, k, полученные по программе , равны: u=–0,192453; k=1,584402. Оценки остальных параметров и нормирующего множителя равны:

.

Оценки параметров вычислялись по формулам (7.5.3), (7.5.4).

Нормирующий множитель N в случае распределений III типа равен (см. табл. 6.3.3)

.

Выравнивающее распределение задается плотностью

.

Критерий согласия К. Пирсона , что соответствует вероятности . Это значит, что выравнивающее и статистическое распределения находятся в хорошем согласии.