6.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения

Памятка студенту

Когда ты хочешь много знать,

Не тратя лишних сил и времени,

Старайся чаще применять

Волшебный метод обобщения!

Рассмотрим три простейших распределения: равномерное, треугольное убывающее и треугольное возрастающее [9, 11].

В первом случае плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

р(t)= ; F(t)= t=1–(1–t). (6.2.1)

Во втором случае

. (6.2.2)

В третьем случае

. (6.2.3)

Обобщим попарно функции распределения (6.2.1), (6.2.2) и (6.2.1), (6.2.3) путем введения новых параметров.

В первом случае получим

. (6.2.4)

Во втором случае

. (6.2.5)

Р ис. 6.2.1. Последовательность обобщения простейших непрерывных распределений.

Теперь замечаем, что в формуле (6.2.4) имеется параметр u, но его нет в формуле (6.2.5). Введем его в последнюю формулу. В результате получим

, (6.2.6) откуда дифференцированием по t найдем плотность распределения

. (6.2.7)

Последняя плотность может быть еще более расширена за счет введения нового параметра формы. Параметр  в формуле (6.2.7) используется дважды в качестве показателя степени. Пусть это будут два разных параметра. Тогда вместо (6.2.7) можем записать [9]

. (6.2.8)

В итоге получена обобщенная плотность распределения с четырьмя параметрами , , , u. Нормирующий множитель N выражается через эти параметры из условия нормировки

.

Последовательность обобщения простейших распределений показана на рис. 6.2.1.

6.3. Классификация обобщенных распределений

В зависимости от значений параметров , u, а также от знака параметров ,  распределения, заданные обобщенной плотностью (6.2.8), можно разделить на типы (см. рис. 6.3.1).

Р ис. 6.3.1. Классификация распределений (типы со штрихом – при ,  < 0).

В таблице 6.3.1 приведены значения параметров распределений разных типов.

Таблица 6.3.1

Классификация распределений

Тип кривой	Параметры кривой
	u		k=/
I, I	0<u<	 > 0	0<k<
II, II	u0
III	-<u<
IV	u	u < 0
V	1<u<	 < 0

Все распределения можно разбить на две большие группы: А и Б.

В группу А входят распределения с параметрами , или =k=1. Они задаются формулами (6.2.6) и (6.2.7).

В группу Б входят распределения, заданные обобщенной плотностью (6.2.8). В этом случае функция распределения, т.е. интеграл

,

как правило, не выражается конечным числом элементарных функций.

Отметим, что из плотности (6.2.8) при   2,  = 1 следует группа симметричных распределений.

Симметричны также распределения I типа с параметрами   1, =1/u.

Приведем все существующие типы распределений обеих групп (см. табл. 6.3.2– 6.3.4).

Таблица 6.3.2

Распределения группы а

Тип кривой	Функция распределения	Плотность распределения	Границы кривой
I
II
III
I
II
III

Таблица 6.3.3