- •В.В. Нешитой
- •Методы статистического анализа
- •На базе
- •Обобщенных распределений
- •Предисловие
- •Введение
- •I. Случайные события и их вероятности
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •II. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •2.2. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •III. Дискретные случайные величины
- •3.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.2.1. Математическое ожидание
- •3.2.2. Свойства математического ожидания
- •3.2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.2.4. Свойства дисперсии
- •3.2.5. Среднее квадратическое отклонение
- •3.2.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •3.2.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •4.2. Плотность распределения
- •4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •4.4. Примеры непрерывных распределений
- •4.4.1. Нормальный закон
- •5.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •5.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •5.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •5.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •VI. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •6.1. Методы построения обобщенных распределений
- •6.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •6.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •6.4. Распределения функций случайного аргумента
- •6.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в. Нешитого
- •VII. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •7.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •7.3. Классический метод моментов
- •7.3.3. Симметричные распределения Ic-iiIc типов
- •7.3.4. Критерии для классификации кривых по методу моментов
- •7.4. Универсальный метод моментов
- •7.4.1. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •7.4.2. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •7.4.3. Законы распределения среднего выборочного
- •7.5. Общий устойчивый метод
- •VIII. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •8.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •8.2. Построение выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •8.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •8.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •8.2.3. Выравнивание по общему устойчивому методу
- •8.2.4. Выравнивающее распределение суммы независимых случайных величин
- •8.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •8.3. Прогнозирование распределений
- •8.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •8.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу
- •8.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •Iх. Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов на базе обобщенных распределений
- •9.1. Показатели состояния технологического процесса
- •9.2. Пример статистической обработки результатов замера контролируемого параметра по программе
- •Контрольный листок Деталь №_____(название) ø50 мм ±0,012 Точность си 0,002 Дата________ Время_______
- •Отклонения от номинального размера детали «nn» ø50 ±0,012
- •Показатели статистического распределения ( )
- •9.3. Экономическая эффективность применения обобщенных распределений
- •9.4. Особенности применения статистических методов в области строительства
- •Х. Надежность как особый критерий качества
- •10.1. Некоторые показатели надежности для невосстанавливаемых объектов
- •Плотность распределения отказов
- •Интенсивность отказов
- •Гамма-процентный ресурс
- •10.2. Вычисление показателей надежности по обобщенным распределениям
- •Результаты наблюдений о наработке до отказа двигателей панелевозов (ti – пробег до отказа в тыс. Км.; mi – число панелевозов, имеющих наработку ti)
- •Показатели статистического распределения (snr2v97)
- •Логарифмическое распределение типа 1.1 с параметрами
- •XI. Временные (динамические) ряды
- •11.1. Методы выделения тренда
- •11.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •11.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •11.2.2. Метод обобщения
- •11.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •11.3. Оценивание параметров кривых роста
- •11.3.1. Уравнение прямой
- •11.3.2. Экспонента
- •11.3.3. Обобщенная кривая роста
- •11.4. Прогнозирование временных рядов
- •11.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •11.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по методу моментов
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по общему устойчивому методу
- •Значения квантили в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободы r
- •Приложение 5
- •Литература
- •Содержание
VII. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
7.1. Метод наименьших квадратов
Этим методом могут быть найдены оценки параметров распределений группы А.
Рассмотрим распределения I – III типов группы А. Преобразуем функцию распределения
к уравнению прямой
. (7.1.1)
Построив по эмпирической функции распределения график зависимости (7.1.1) (при известной оценке параметра u) и убедившись, что опытные точки рассеиваются вдоль прямой, по методу наименьших квадратов найдем оценки величин . Введем обозначения:
Тогда вместо формулы (7.1.1) запишем
. (7.1.2)
Оценки параметров (при заданном значении параметра u) по методу наименьших квадратов будут равны
, (7.1.3)
(7.1.4)
Для оценки тесноты связи между переменными Y, X при различных значениях параметра u вычисляется выборочный коэффициент корреляции
(7.1.5)
В качестве оценки параметра u следует принять то его значение, при котором коэффициент корреляции максимален.
Аналогично приводятся к уравнению прямой функции распределения остальных типов.
Тип II: .
Вводя обозначения , получим уравнение прямой (7.1.2).
Тип II: .
Типы I, III: .
Из рассмотренных примеров видно, что главная трудность здесь заключается в выборе подходящего значения параметра u. Его можно найти путем подбора и вычисления при каждом значении u коэффициента корреляции. Однако имеется возможность оценить его более простым и быстрым методом.
Если построить кривую распределения в форме и график функции распределения , то мода , т.е. точка, в
которой произведение tp(t) максимально, равна
,
откуда . Подставив значение tc в функцию распределения, получим [9]
. (7.1.6)
Последняя формула справедлива для распределений I-III типов группы А. Для распределений I-III типов справедливо равенство
. (7.1.7)
В таблице 7.1.1 приведены значения F(tc), рассчитанные по формулам (7.1.6), (7.1.7).
Таблица 7.1.1
Значение функции распределения f(tc)
Параметр u |
|
|
Тип кривой |
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 |
1 0,9226 0,8663 0,8209 0,7828 0,7500 0,7211 0,6954 0,6723 0,6513 |
0 0,0774 0,1337 0,1791 0,2172 0,2500 0,2789 0,3046 0,3277 0,3487 |
I, I |
0 |
0,6321 |
0,3679 |
II, II |
-0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,5 -2 -2,5 -3 -4 -5 -10 -20 -30 -∞ |
0,5981 0,5688 0,5431 0,5204 0,5000 0,4571 0,4226 0,3941 0,3700 0,3313 0,3012 0,2132 0,1412 0,1082 0 |
0,4019 0,4312 0,4569 0,4796 0,5000 0,5429 0,5774 0,6059 0,6300 0,6687 0,6988 0,7868 0,8588 0,8918 1 |
III-III |
На основании полученных результатов можно рекомендовать следующий порядок установления типа выравнивающего распределения группы А и нахождения оценок параметров на примере плотности p(t).
Выбрать за начало отсчета значений случайной величины Т начало кривой распределения.
Найти эмпирическую моду кривой распределения .
Найти эмпирическое значение функции распределения в точке C и приравнять теоретическому.
С помощью таблицы 7.1.1 определить два значения параметра u (в предположении, что выравнивающее распределение относится либо к I-III, либо к I-III типам).
По двум значениям параметра u определить два типа возможных выравнивающих распределений.
Для обоих типов распределений путем построения графиков проверить, ложатся ли опытные точки на прямые.
В качестве выравнивающего принять наиболее подходящее распределение.
Таким же образом могут быть найдены оценки параметров распределений группы А, заданных плотностями р(х), р(у). При этом плотность р(у) должна быть приведена к форме .