- •В.В. Нешитой
- •Методы статистического анализа
- •На базе
- •Обобщенных распределений
- •Предисловие
- •Введение
- •I. Случайные события и их вероятности
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •II. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •2.2. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •III. Дискретные случайные величины
- •3.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.2.1. Математическое ожидание
- •3.2.2. Свойства математического ожидания
- •3.2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.2.4. Свойства дисперсии
- •3.2.5. Среднее квадратическое отклонение
- •3.2.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •3.2.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •4.2. Плотность распределения
- •4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •4.4. Примеры непрерывных распределений
- •4.4.1. Нормальный закон
- •5.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •5.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •5.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •5.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •VI. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •6.1. Методы построения обобщенных распределений
- •6.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •6.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •6.4. Распределения функций случайного аргумента
- •6.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в. Нешитого
- •VII. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •7.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •7.3. Классический метод моментов
- •7.3.3. Симметричные распределения Ic-iiIc типов
- •7.3.4. Критерии для классификации кривых по методу моментов
- •7.4. Универсальный метод моментов
- •7.4.1. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •7.4.2. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •7.4.3. Законы распределения среднего выборочного
- •7.5. Общий устойчивый метод
- •VIII. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •8.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •8.2. Построение выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •8.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •8.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •8.2.3. Выравнивание по общему устойчивому методу
- •8.2.4. Выравнивающее распределение суммы независимых случайных величин
- •8.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •8.3. Прогнозирование распределений
- •8.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •8.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу
- •8.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •Iх. Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов на базе обобщенных распределений
- •9.1. Показатели состояния технологического процесса
- •9.2. Пример статистической обработки результатов замера контролируемого параметра по программе
- •Контрольный листок Деталь №_____(название) ø50 мм ±0,012 Точность си 0,002 Дата________ Время_______
- •Отклонения от номинального размера детали «nn» ø50 ±0,012
- •Показатели статистического распределения ( )
- •9.3. Экономическая эффективность применения обобщенных распределений
- •9.4. Особенности применения статистических методов в области строительства
- •Х. Надежность как особый критерий качества
- •10.1. Некоторые показатели надежности для невосстанавливаемых объектов
- •Плотность распределения отказов
- •Интенсивность отказов
- •Гамма-процентный ресурс
- •10.2. Вычисление показателей надежности по обобщенным распределениям
- •Результаты наблюдений о наработке до отказа двигателей панелевозов (ti – пробег до отказа в тыс. Км.; mi – число панелевозов, имеющих наработку ti)
- •Показатели статистического распределения (snr2v97)
- •Логарифмическое распределение типа 1.1 с параметрами
- •XI. Временные (динамические) ряды
- •11.1. Методы выделения тренда
- •11.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •11.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •11.2.2. Метод обобщения
- •11.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •11.3. Оценивание параметров кривых роста
- •11.3.1. Уравнение прямой
- •11.3.2. Экспонента
- •11.3.3. Обобщенная кривая роста
- •11.4. Прогнозирование временных рядов
- •11.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •11.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по методу моментов
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по общему устойчивому методу
- •Значения квантили в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободы r
- •Приложение 5
- •Литература
- •Содержание
8.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
Для уверенного прогнозирования структуры выборки, которое осуществляется посредством прогнозирования выравнивающей кривой распределения, полученной в некоторый базовый момент времени, необходимо иметь оценку степени стабильности ранжированного статистического ряда распределения. Прогнозирование можно осуществлять лишь при условии неизменности порядка следования элементов в ранжированном (вариационном) ряду, т.е. при неизменности рангов элементов с течением времени.
Действительно, увеличение отдельных значений хi на постоянную величину С или умножение их на ту же величину не меняет порядок их следования в вариационном ряду и, как было показано ранее, не приводит к изменению параметров формы выравнивающих кривых.
Следовательно, для измерения степени связи двух ранжированных рядов распределения, а точнее, одного и того же ряда, но в разные моменты времени, может быть использован коэффициент ранговой корреляции Спирмена [14, c. 211]
, (8.3.24)
где di – разность между значениями рангов одного и того же элемента выборки в двух ранжированных рядах; n – объем выборки.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена может служить показателем степени стабильности вариационных рядов. Успешное прогнозирование структуры выборки посредством выравнивающих распределений возможно лишь при условии, когда коэффициент ранговой корреляции Спирмена близок к единице.
Рассмотрим далее показатели качества выборки. Одним из таких показателей может служить величина S1, которая в зависимости от системы непрерывных распределений задается формулами:
. (8.3.25)
Чем выше показатель S1, тем лучше качество выборки. Действительно, пусть в случае второй системы непрерывных распределений величина ti обозначает срок службы однородных изделий в i-ом интервале, либо наработку до отказа и т.д., а рi – долю изделий с данным сроком службы. Тогда качество изделий будет тем выше, чем большая их доля имеет наибольший срок службы.
Вместо величины S1 можно также использовать произведение ν1S1, которое в зависимости от системы непрерывных распределений задается формулами:
. (8.3.26)
Введем еще один показатель, который обозначим R(Р), например, R(P=0,9), где Р – вероятность попадания случайной величины на заданный интервал, ограниченный верхним и нижним уровнями. В зависимости от системы непрерывных распределений этот показатель задается формулами:
|
(8.3.27) (8.3.28) (8.3.29) |
Вместо показателей (8.3.28), (8.3.29) могут использоваться показатели
|
(8.3.30)
(8.3.31) |
С улучшением качества выборки показатели (8.3.27) – (8.3.31) уменьшаются.
Показатель R(P) непосредственно связан еще с одним показателем качества выборки – дисперсией случайных величин
, (8.3.32)
, (8.3.33)
. (8.3.34)
Дисперсия также уменьшается с улучшением качества выборки.
С помощью приведенных показателей можно отслеживать динамику качественных изменений статистических распределений исследуемых экономических и других показателей.