11.3.2. Экспонента

Рассмотрим еще пример, когда среднее логарифма случайной величины Y_t,т.е. растет во времени по линейному закону,

, (11.3.8)

а сама случайная величина Y_t (точнее, ее среднее геометрическое ) – по показательному закону

.

В этом случае рассеяние отдельных значений случайной величины Y относительно экспоненты при каждом значении t должно описываться второй системой непрерывных распределений (см. свойства SNR2), а в частном случае – логарифмически нормальным законом

,

или с учетом (11.3.8)

. (11.3.9)

Оценки параметров А, В, σ распределения (11.3.9) легко находятся по методу наибольшего правдоподобия:

(11.3.10)

(11.3.11)

, (11.3.12) где S² – оценка дисперсии σ².

Нижняя и верхняя границы при заданной доверительной вероятности Р определятся по формулам

(11.3.13)

11.3.3. Обобщенная кривая роста

Найдем для примера оценки параметров кривой роста, заданной четырехпараметрической формулой (11.2.3). Для этого приведем ее к линейному виду

. (11.3.14)

Примем обозначение

.

Тогда последняя формула перепишется в виде

. (11.3.15)

Рассеяние эмпирических значений случайной величины Y относительно теоретической прямой (11.3.15) будет описываться первой системой непрерывных распределений, в частности, нормальным законом.

Распределение случайной величины y при заданных значениях t можно найти по распределению случайной величины Y:

Теперь можно воспользоваться формулами (11.3.3) – (11.3.5) для нахождения оценок параметров α, β, S², заменив величины соответственно на . Несмещенная оценка остаточной дисперсии случайной величины Y_t в этом случае будет вычисляться по формуле

,

где величина

рассчитывается по статистическим значениям уровней временного ряда y при каждом значении t и заданном значении параметра u. Параметр y₀ должен быть либо известен из опыта, либо задан. Меняя значения параметра u (например, с шагом 0,1 или 0,01), в итоге найдем тот вариант кривой роста, параметры которого минимизируют остаточную дисперсию.

Найдем формулы для вычисления верхней и нижней доверительных границ уровней временного ряда. На основании формулы (11.3.14) имеем

, откуда

, где .

11.4. Прогнозирование временных рядов

11.4.1. Параметрический метод прогнозирования

При найденных оценках параметров математическая модель позволяет осуществлять прогнозирование временного ряда. Такой метод прогнозирования естественно назвать параметрическим методом.

Для временных рядов, имеющих закономерный характер роста, неизменный на длительном интервале, параметрические модели являются наиболее приемлемыми, поскольку с их помощью можно получать достаточно уверенный прогноз даже при наличии сезонной составляющей.

Однако реальные временные ряды экономических показателей крайне нестабильны, подвержены резким колебаниям и т.д. В связи с этим прогнозирование таких рядов может осуществляться лишь на коротких интервалах, где они имеют закономерный характер роста.

Чтобы в некоторой степени избавиться от случайной составляющей временного ряда и более надежно выявить тренд, осуществляют сглаживание эмпирических данных. Далее этот сглаженный ряд (или исходный, несглаженный) может быть использован для параметрического прогнозирования, т.е. для подбора наилучшей выравнивающей кривой роста, имеющей параметры, по которой затем осуществляется прогноз на заданный период упреждения.

Для выявления тренда временного ряда, в том числе содержащего сезонную составляющую, необходимо вычислить наилучшую выравнивающую кривую роста за период 1.5, 2, 3 и т.д. года, начиная с начала года или полугодия.

После нахождения оценок параметров выравнивающей кривой можно рассчитать прогнозные значения уровня ряда (тренда) на заданный период упреждения. Методика расчета сезонной волны изложена в книге [18].

Иногда требуется спрогнозировать средний коэффициент роста уровня временного ряда на некоторый период. Его можно вычислить по уравнению кривой роста с известными оценками параметров.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. Временной ряд описывается экспонентой

.

Здесь величина y₀ = y при t = 0. Параметр α равен мгновенному темпу прироста

,

а величина ежемесячному темпу роста

Отметим, что в данном случае мгновенный темп прироста (α ) меньше ежемесячного темпа прироста (q – 1).

Отношение есть не что иное, как коэффициент роста уровня ряда к начальному его значению. Найдем среднегодовое значение коэффициента роста уровня ряда

, (11.4.1)

где .

Аналогично можно найти за любой другой период. Расчет осуществляется по формуле

,

откуда после интегрирования имеем

. (11.4.2)

Вычислим по формуле (11.4.1) среднегодовой коэффициент роста при ежемесячном темпе роста q = 1.1 (мгновенный темп прироста α = lnq = 0.09531):

.

При этом коэффициент роста при t = 0 равен единице

,

а при t = 12

.

Среднее геометрическое значение коэффициентов роста в начале и конце года равно

.

Случай 2. Временной ряд описывается формулой (11.2.1)

.

Мгновенный темп прироста равен

и зависит от времени t - при u > 0 уменьшается, а при u < 0 растет.

Ежемесячный темп роста задается формулой

.

В частном случае, при .

Коэффициент роста равен

.

Найдем среднее значение коэффициента роста уровня временного ряда на период a < t < b:

. (11.4.3)

Формула (11.4.3) позволяет рассчитывать среднегодовой коэффициент роста уровня временного ряда с переменным темпом роста.

При a = 0, b = 12 последняя формула принимает вид

. (11.4.4)

В частном случае при u→0 из (11.4.4) следует формула (11.4.1).