11.1. Методы выделения тренда

Выделение тренда представляет собой весьма трудную и в то же время очень важную задачу, поскольку ее решение позволяет осуществлять прогноз, при этом случайная составляющая временного ряда используется для оценки точности прогноза.

В настоящее время известны два метода выделения тренда. Первый метод заключается в том, что по эмпирическим данным временного ряда подбирается выравнивающая кривая (математическая модель), которая с наибольшей точностью описывает временной ряд. При этом в качестве математических моделей используются различные функции: уравнения прямой и экспоненты, парабола (квадратная, кубическая и более высоких степеней), логистическая кривая, кривая Гомпертца и др. При выбранной математической модели оценки ее параметров на основании эмпирических данных вычисляются по методу наименьших квадратов.

Второй метод выделения тренда заключается в сглаживании ряда по методу скользящей средней. При этом обычно находят среднее значение трех (или пяти) первых членов, далее берутся следующие три члена со смещением на единицу и находится среднее. Таким образом удается уменьшить случайную составляющую.

Сглаживание можно осуществить один или несколько раз (желательно от 1 до 3). В случае сглаживания по прямой используются формулы

(11.1.1)

Первая формула предназначена для сглаживания средних членов ряда, вторая и третья – для сглаживания начального и конечного членов ряда.

Следует отметить, что множество математических моделей, обычно используемых на практике, не гарантирует установления подходящей выравнивающей кривой. Некоторые из них дадут близкие, но недостаточно точные результаты.

Обойти эти трудности (по крайней мере частично) можно путем разработки более гибкой системы выравнивающих кривых.

Для того чтобы иметь представление, какие математические модели требуется разработать, необходимо знать свойства исследуемых временных рядов, которые проявляются в таких характеристиках, как скорость роста, темп роста и темп прироста. Математические модели тоже должны обладать такими же свойствами.

Пусть тренд задается общей формулой

.

Этот тренд в каждой точке t имеет скорость роста, которая равна первой производной

.

Мгновенный темп прироста задается формулой

.

Скорость роста и мгновенный темп прироста связаны соотношениями

.

Мгновенный темп роста равен

.

11.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов

11.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами

Пусть имеется некоторый временной ряд. Как правило, он задается таблицей, в которой приводятся моменты времени t и соответствующие им значения уровней ряда . Требуется построить его математическую модель. Для этого необходимо исследовать свойства статистического временного ряда.

Вычислим темпы прироста и построим график зависимости . Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть темп прироста колеблется около некоторого постоянного значения α. Приравнивая эмпирический темп прироста теоретическому мгновенному темпу прироста, можем записать следующее дифференциальное уравнение

.

Отсюда имеем

Здесь при t = 0.

Таким образом, постоянному темпу прироста удовлетворяет показательная функция (экспонента).

Случай 2. Пусть темп прироста изменяется по прямой. Тогда

.

Решая это дифференциальное уравнение, найдем

.