11.2.2. Метод обобщения
Рассмотрим уравнения экспоненты и прямой:
.
Найдем такую обобщенную формулу, которая будет включать множество частных случаев, в том числе уравнения прямой и экспоненты.
Обобщим две последние формулы путем введения нового параметра u. Используя замечательный предел
,
представим обобщенное уравнение в виде
(11.2.1)
При u = 1 из (11.2.1) имеем прямую, при u→0 – экспоненту.
Если из опыта величина y0 неизвестна, то формулу (11.2.1) целесообразно представить в другом виде
, (11.2.2)
где
.
Чтобы увеличить аппроксимирующие возможности формул (11.2.1) и (11.2.2), введем в них дополнительный параметр β
(11.2.3)
. (11.2.4)
Исследуем темп прироста кривой (11.2.3). Для этого вначале прологарифмируем ее:
.
Тогда
. (11.2.5)
В частном случае, при u→0
. (11.2.6)
Из последней формулы следует, что при β = 1 (u→0) мгновенный темп прироста (и, следовательно, темп роста) не зависит от времени t. При β>1 темп прироста со временем растет, при β<1 – убывает. Это значит, что параметр β является показателем ускорения или замедления темпа прироста (и темпа роста) кривой (11.2.3), которая при u→0 имеет вид
. (11.2.7)
Из (11.2.5) следует, что при β = 1, u < 0 темп прироста кривой (11.2.3) со временем растет, а при u > 0 – убывает.
По характеру темпа прироста эмпирического временного ряда может быть установлена выравнивающая кривая, обладающая нужными свойствами.
На основании формул (11.2.3) и (11.2.4) можно получить другие кривые роста. Например, при t = ex
, (11.2.8)
. (11.2.9)
При
(11.2.10)
. (11.2.11)
Приведенные четырехпараметрические кривые роста содержат множество частных случаев и могут использоваться в различных областях знания для выравнивания и прогнозирования различных статистических зависимостей, в том числе временных рядов.
11.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
Широкую систему кривых роста можно построить на базе функций распределения:
(11.2.12)
, (11.2.13)
где N – некоторый параметр. Свойства этих кривых полностью определяются свойствами функции распределения F(t) (см. табл. 6.3.2).
Формула (11.2.12) может описывать, например, количество разных статей по определенной теме, опубликованных в первых t журналах, при условии, что последние упорядочены по убыванию количества таких статей; количество заболеваний при эпидемиях за время t от начала эпидемии, а также множество других кривых, в том числе кривых роста числа отказов за время t в испытаниях на надежность.
Другая, еще более широкая система кривых роста может быть построена на основе обобщенных распределений, заданных плотностями p(t), p(x), p(y). Вводя другие обозначения переменных и освобождаясь от ограничений, накладываемых на параметры кривых распределения, можем записать следующие уравнения для описания различного рода кривых роста, в том числе временных рядов:
11.3. Оценивание параметров кривых роста
11.3.1. Уравнение прямой
Оценки параметров кривых роста вычисляются по методу наименьших квадратов. При этом уравнение кривой должно быть приведено к линейному виду
. (11.3.1)
Рассеяние отдельных значений случайной величины Х относительно прямой (11.3.1) должно описываться первой системой непрерывных распределений (SNR1), поскольку здесь последующие значения случайной величины Хt+1 образуются из предыдущих Хt путем прибавления постоянной величины В (см. свойства SNR1).
Если фактические уровни временного ряда Хt получены как средние значения в моменты времени t (условные средние), то их рассеяние относительно прямой (11.3.1) может быть описано нормальным законом, который является частным случаем SNR1
или с учетом (11.3.1)
. (11.3.2)
Плотность (11.3.2) представляет собой вариационно-динамическую модель и содержит три параметра: А, В, σ. Их оценки можно найти по методу наибольшего правдоподобия. Для этого вначале прологарифмируем выражение (11.3.2)
и запишем логарифмическую функцию правдоподобия, представляющую собой математическое ожидание логарифма плотности распределения
.
Далее из условий
найдем уравнения правдоподобия:
Из первого уравнения имеем
.
Величина
представляет собой остаточную дисперсию,
несмещенная оценка которой равна
.
(11.3.3)
Из второго и третьего уравнений путем замены соответствующих математических ожиданий их оценками получим систему двух уравнений с двумя неизвестными А, В:
Решение этой системы дает
(11.3.4)
. (11.3.5)
Сделаем некоторые выводы.
Оценки
параметров А,
В, полученные
по методу наибольшего правдоподобия,
совпадают с оценками метода наименьших
квадратов. Оценка дисперсии
совпадает с ее оценкой по методу моментов.
В качестве критерия точности выравнивания временного ряда может быть принят минимум остаточной дисперсии
или минимум суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней ряда от теоретической прямой
.
В этом случае коэффициент корреляции должен быть максимальным.
Полученные результаты позволяют оценить нижнюю и верхнюю границы уровня временного ряда при заданной доверительной вероятности Р
, (11.3.6)
где величина Z зависит от доверительной вероятности Р и числа степеней свободы ν, которое связано с числом точек n. При малых n величина Z определяется по таблицам распределения Стьюдента.
При Р = 0,9 величину Z можно рассчитать по формуле
, (11.3.7)
которая получена автором путем выравнивания табличных данных по формуле (11.2.3).
Произведение ZS является показателем точности аппроксимации при заданной надежности (доверительной вероятности) Р.