I. Случайные события и их вероятности

1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность

Пусть требуется оценить качество изделий в некоторой партии объемом n. Для этого необходимо над каждым изделием провести наблюдение, т.е. осмотр, измерение, взвешивание и т.д. В теории вероятностей и математической статистике всем этим понятиям соответствует один термин – испытание.

В результате отдельного испытания изделие может быть признано либо годным, либо браком. Возможные исходы испытания в данном примере – это случайные события: А – годное изделие; В – брак. Эти события называются случайными, потому что заранее нельзя точно предсказать, какое из них наступит при следующем испытании.

Пусть после проверки всей партии изделий объемом n, т.е. после n испытаний, случайное событие А – число годных изделий – появилось n_А раз. Это значит, что относительная частота случайного события А равна

.

Если провести несколько серий испытаний (проверить несколько партий изделий), то относительные частоты в разных сериях будут группироваться около определенного числа, которое называется вероятностью случайного события А и обозначается Р(А). Как показала практика, с ростом объема партии изделий n относительные частоты теснее группируются около вероятности, т.е. обнаруживают устойчивость.

Устойчивость относительной частоты случайного события является определяющим его свойством, позволяющим использовать относительную частоту как оценку вероятности в различных практических расчетах.

1.2. Виды случайных событий

События, которые непременно происходят при каждом испытании, называются достоверными.

События, которые не могут произойти ни при каком испытании, называются невозможными.

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю.

Если при осуществлении испытания может наступить хотя бы одно из двух событий А или В, то событие

С=А+В

называется суммой, или объединением событий А и В.

Два события А и В называются несовместными, если они не могут наступить вместе при одном испытании.

Случайные события образуют полную группу, если они попарно несовместны и при любом отдельном испытании непременно должно произойти одно из них.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Два случайных события называются противоположными, если в одном испытании появление одного из них (А) исключает появление другого ( - читается не А).

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице

.

Противоположные события образуют полную группу.

Если при осуществлении испытания может наступить и событие А, и событие В (совмещение событий А и В), то событие

называется произведением, или пересечением событий А и В.

Два случайных события называются независимыми, если при осуществлении испытаний появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

1.3. Определения вероятности

Классическое определение вероятности события А – отношение числа m элементарных событий (исходов испытаний), благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий

.

Статистическое определение вероятности

,

где - частота события А при n испытаниях.

Геометрическая вероятность

,

где - площадь некоторого замкнутого контура, составляющая часть площади S.