3.5. Математические основы векторной графики

В основе векторной графики лежат математические представления о свойствах геометрических фигур. Как мы сказали выше, простейшим объектом векторной графики является линия. Поэтому в основе векторной графики лежит прежде всего математическое представление линии. Давайте рассмотрим несколько видов линий, но начнем с точки.

Точка

Точка на плоскости задается двумя числами (х, у),определяющими ее положение относительно начала координат.

Прямая линия

Из курса алгебры известно, что для задания прямой линии достаточно двух параметров. Обычно график прямой линии описывается уравнением y = kx + b.Зная параметрыkиb,всегда можно нарисовать бесконечную прямую линию в известной системе координат.

Отрезок прямой

Для задания отрезка прямой надо знать еще пару параметров, например координаты х₁и х₂начала и конца отрезка, поэтому для описания отрезка прямой линии необходимы четыре параметра.

Кривая второго порядка

К кривым второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и другие линии, уравнения которых не содержат степеней выше второй. Прямые линии — это частный случай кривых второго порядка. Отличаются кривые второго порядка тем, что не имеют точек перегиба.Самая общая формула кривой второго порядка может выглядеть, например, так:

x² + a₁y² + a₂xy + a₃x + a₄y + a₅ = 0

Как видите, пяти параметров вполне достаточно для описания бесконечной кривой второго порядка. Для записи отрезка кривой второго порядка необходимо на два параметра больше.

Точка на координатной плоскости

Прямая

Парабола

Кривая третьего порядка

Отличительная особенность этих более сложных кривых состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Если вы знакомы с графиком функции y=х³, то конечно видели тот перегиб, который происходит в начале координат. Кривые третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют именно такие линии. Все прямые и кривые второго порядка (например, окружности или эллипсы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой третьего порядка можно записать так:

x³ + a₁y³ + a₂x²y + a₃xy² + a₄x² + a₅y² + a₆xy + a₇x + a₈y + a₉ = 0

Видно, что для записи кривой третьего порядка достаточно девяти параметров. Для задания отрезка кривой третьего порядка надо иметь на два параметра больше.

Кривые Безье

Рисовать кривую третьего порядка по заданным коэффициентам ее уравнения — занятие не слишком интересное. Для упрощения этой утомительной процедуры в векторных редакторах применяют не любые кривые третьего порядка, а их особый вид, называемый кривыми Безье.Отрезки кривых Безье — это частный случай отрезков кривых третьего порядка. Они описываются не одиннадцатью параметрами, как произвольные отрезки кривых третьего порядка, а лишь восемью, и потому работать с ними удобнее.

Метод построения кривой Безье основан на использовании пары касательных, проведенных к линии в точках ее концов. На практике эти касательные выполняют роль «рычагов», с помощью которых линию изгибают так, как это необходимо. На форму линии влияет не только угол наклона касательной, но и длина ее отрезка. Управление касательной (а вместе с ней и формой линии) производят перетаскиванием маркера с помощью мыши.

Большинство векторных редакторов для изображения и хранения кривых линий используют именно кривые Безье.

График функции y = x³

Кривая Безье