Линейная функция полезности
В соответствии с приведенными выше определениями вещественная функция и, заданная на множестве Р, является функцией полезности для отношения на Р, если и(р)>и(q) для всех р q, и u— совершенная функция полезности для отношения на Р, если для всех р и q из Р неравенство и(р)>и(q) справедливо тогда и только тогда, когда р q. В случае когда множество X содержит более одного элемента, множество Р будет неисчислимо, поэтому замечания из разд. 2.3 для неисчислимых множеств справедливы для функции и на множество Р.
В рассматриваемом случае наличие определенных структурных свойств у множества Р приводит к тому, что функция и обладает свойством линейности, которое определяется следующим образом:
(2.1)
для всех , лежащих между 0 и 1, и для всех р и q, принадлежащих Р. Функция полезности P, определенная для отношения на Р, называется линейной функцией полезности, если для нее выполняется равенство (2.1). Аналогично если и — совершенная функция полезности, которая удовлетворяет равенству (2.1), то она называется совершенной линейной функцией полезности.
Сколь важным является свойство линейности, становится очевидным из дальнейших рассуждений. На основе функции и, заданной на Р, введем в рассмотрение дополнительную (вспомогательную) функцию v на X, определяемую следующим образом:
,
когда
.
(2.2)
Определим
отношение
так, что х
y
тогда и только тогда, когда р
q
при
p(х)=q(у)=1;
в этом случае v
будет функцией полезности для отношения
на Х
при условии, что и
является функцией полезности для
отношения
на Р.
Пусть
—различные элементы множества Х
и
;
применив несколько раз равенство (2.1) и
воспользовавшись (2.2), получим
.
(2.3)
Согласно этому выражению, полезность р равна математическому ожиданию дополнительной функции v с распределением вероятностей р, заданным на X. Если рассматривать v(х) как полезность исхода, то выражение (2.3) означает, что полезность некоторой альтернативы (с элементом риска) равна ожидаемой полезности для исходов, которые могут иметь место при использовании этой альтернативы.
Аксиомы для линейной функции полезности
В данном разделе будут рассмотрены аксиомы (или условия) для отношения на множестве Р, выполнение которых означает, что существует линейная функция полезности для отношения на Р. В работе [21] предложены аксиомы (Al, А2, A3), которых достаточно для существования линейной функции полезности для отношения на Р. Другой набор аксиом {Bl, В2, ВЗ} введен в работе [33]; выполнение этих аксиом является необходимым л достаточным условием существования совершенной линейной функции полезности для отношения на множестве Р. В каждом случае X представляет собой любое непустое множество, причем не обязательно конечное или исчислимое. Аксиомы не означают, что полезность ограничена, хотя ограниченность полезности обычно возникает в результате применения аналогичных аксиом к непростым распределениям вероятностей.
Как отмечалось в начале главы, первоначальная аксиоматика для совершенной функции полезности была предложена Нейманом и Моргенштерном в их известной книге [58], и поэтому совершенную линейную функцию и (или дополнительную к ней v на X) часто называют функцией полезности Неймана — Морген-штерна. Используется также выражение «полезность по Бернулли», поскольку Бернулли внес вклад в разработку этого вопроса [6].
При формулировке каждой аксиомы предполагается, что все р, q, r и s принадлежат множеству Р; в аксиомах А2 и В2 считается, что а лежит строго между 0 и 1.
А1. Отношение на Р нерефлексивно.
А2. Если 0< а < 1 и р q и r s, то ар + (1 — а) r аq+ (1 — а) s.
A3. Если р q и r s, то ар -+ (1 — a) s аq + (1 — a) r для некоторого а, заключенного строго между 0 и 1.
B1. Отношение на Р является слабым упорядочением.
B2. Если 0 < а < 1 и р q, то ар +(1 — а)r аq + (1 — а) r
B3. Если р q и q r, то ар + (1 — а) r q и q (bр + (1 — b) r) для некоторых а и b, лежащих строго между 0 и 1.
Аксиомы А1 и В1 уже обсуждались выше (они означают, что отношение ациклично); А2 и В2 называют по-разному: аксиомами независимости, аддитивности или условиями линейности. Линейные свойства функции и [см. уравнение (3)] получаются непосредственно из этих аксиом. Рациональное обоснование аксиом А2 и В2 обычно дается следующим образом: сначала выбирают р и r с соответствующими вероятностями а и (1 — а), а затем составляют выражение ар + (1 — а) r на основе ранее сделанного выбора.