2. Предпочтение и полезность

2.1. Основные положения

Под системой предпочтения ЛПР понимается совокупность его представлений о преимуществах и недостатках сравниваемых решений.

Решающее правило r (метод принятия решения) отражает информированность ЛПР о возможных исходах выбранных решений, а также предпочтительность тех или иных исходов. Решающее правило может быть заданно в виде аналитического выражения, алгоритма или словесной формулировки.

Фундаментальным понятием теории предпочтений является бинарное отношение, поэтому необходимо изложить некоторые положения теории бинарных отношений.

Бинарное отношения R на непустом множестве X есть подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из X; множество всех упорядоченных пар задается прямым произведением . Запись xRy (читается: x находится в отношении R к y) означает, что (x,y) принадлежит R; аналогично не xRy (записывается как ) означает, что (x,y) не принадлежит R, или что x не находится в отношении R к y.

Ниже указаны восемь возможных свойств бинарных отношений, разделенных на четыре группы. Во всех определениях предполагается, что х, у и z являются элементами множества X. Бинарное отношение R на множестве Х является:

1) рефлексивным, если xRx для каждого ; нерефлексивным, если для каждого ;

2) симметричным, если из xRy следует yRx; асимметричным, если из xRy следует ;

3) транзитивным, если из xRy и yRz следует xRz; отрицательно транзитивным, если из и следует ;

4) связным, если xRy или yRx; слабосвязным, если из следует xRy или yRx.

Пусть X — множество всех живых людей. Тогда отношение «выше, чем» является нерефлексивным, асимметричным, транзи­тивным и отрицательно транзитивным; отношение «ему (ей) столь­ко же лет, как и» рефлексивно, транзитивно, отрицательно транзитивно и связно; отношение «является сестрой» (по крайней мере один из родителей общий) симметрично (но почему не транзитив­но?); отношение «знаю имя», используемое при исследованиях пациентов с потерей памяти, не удовлетворяет ни одному из пере­численных свойств.

Предпочтение и безразличие

В теории предпочтений используются два основных бинарных отношения на множестве X. Во-первых, отношение нестрогого предпочтения >; запись х > у читается следующим образом: «х либо предпочтительнее, чем у, либо безразличен к у». Чаще пользуются формулировкой: «г/ не предпочтительнее, чем х». Во-вторых, применяется отношение предпочтения ; запись х у читается так: «х предпочтительнее, чем у». Отношение нестрогого предпочтения чаще встречается в литературе, но в последнее время некоторые авторы стали пользоваться последним определением.

Когда в качестве основного бинарного отношения берется отношение нестрогого предпочтения (>;), то отношения предпоч­тения ( ) и безразличия (~) определяются через нестрогое пред­почтение >~ следующим образом:

х у тогда и только тогда, когда х ~ у, и неверно, что у ~ х; х~ у тогда и только тогда, когда х ~ у и у ~ х. (1)

Если же в качестве основного бинарного отношения берется , то отношение безразличия и отношение нестрогого предпочтения определяются на основе как

х~ у тогда и только тогда, когда неверно х у и неверно у х; х ~ у тогда и только тогда, когда х у или неверно х у и неверно у х.

Транзитивность

Отношение предпочтения на X транзитивно, если из того, что х предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем z, сле­дует, что х предпочтительнее, чем z. В целом это свойство кажется разумным, поэтому будем предполагать, что оно выполняется в большинстве дальнейших рассуждений. Транзитивность нару­шается, если (х > у, у > z, х~ z) или (х у, у z, z х) для некоторых х, у и z из X.

Несмотря на очевидную разумность предположения о транзи­тивности предпочтений, имеется достаточно примеров и наблю­дений, из которых видно, что здравомыслящие люди могут иметь нетранзитивные предпочтения в некоторых ситуациях (см. [10, 56, 59]). Альтернативы, используемые, чтобы проиллюстрировать этот факт, обычно включают несколько критериев или характер­ных признаков, как в следующем примере, когда молодому уче­ному предлагается выбрать место академической работы:

(а) х: ассистента в очень известном университете с окладом 15 тыс. долл.;

(б) у: доцента в университете штата N с окладом 18 тыс. долл.; (с) z: профессора в малоизвестном колледже с окладом 21 тыс. долл.

Ученый предпочитает х больше, чем у, рассудив, что престиж из­вестного университета стоит 3 тыс. долл.; исходя из аналогичных соображений, он предпочитает у больше, чем z, но, сравнивая х и z, он чувствует, что занимаемый пост и величина оклада переве­шивают престижность, поэтому он предпочитает z по сравнению с х. В описанной ситуации его предпочтения образуют цикл х y, y z, z х.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует проблему, воз­никающую в теории выбора, а именно то, что бинарное отношение не дает путеводной нити для выхода из цикла, не позволяет сде­лать выбор между х, у и z, когда каждая альтернатива менее пред­почтительна, чем некоторая другая. Следовательно, здесь нет самой предпочтительной альтернативы. Таким образом, теория выбора, которая сможет учесть и разрешить циклические пред­почтения, должна быть «богаче» и «глубже» по сравнению с тео­ретическими построениями, обсуждаемыми в данной главе (см. [54, 57]).

Отношение безразличия (~) на X транзитивно, если из того, что х безразличен по отношению к у, а у безразличен к z, следует, что х безразличен по отношению к z. Отношение безразличия не транзитивно, если существуют х, у и z, для которых х ~ y, у ~ z и х z. Хотя во многих примерах нетранзитивных безраз­личий используется несколько критериев или характерных признаков, можно привести и простейшие «одномерные» примеры, демонстрирующие тот же факт. Для этого можно рассмотреть си­туацию с некоторым пороговым предпочтением, которое остается незамеченным благодаря несущественным или малым различиям в предпочтениях. В работе [38] это рассмотрено на примере чашки кофе, в которую добавляют один за другим маленькие кусочки сахара. Можно ожидать безразличного отношения к х и (х + 1) кусочкам сахара для х, скажем в пределах от 0 до 5000, но трудно ожидать одинакового отношения к двум чашкам кофе, в одной из которых нет сахара, а в другой х = 5000.

Поскольку отноше­ние ~ транзитивно, оно является отношением эквивалентности (транзитивным, симметричным, рефлексивным) и, следовательно, может быть использовано для разделения (разбиения) множества X на классы эквивалентности, или классы безразличия. Такие классы представляют собой непустые множества из X: если А и В — два различных класса и х лежит в А, & у в В, то х~ у тогда и только тогда, когда А =В\ если же х у, то х' у' для любого х' из А и каждого у' из В. На рис. 2 изображены классы безразличия для случая двух продуктов или двух характерных признаков. Классы безразличия представляют собой кривые, на каждой из которых любые две точки находятся в отношении без­различия, а предпочтение возрастает по мере удаления от начала координат. Поскольку кривые имеют отрицательный наклон, то с уменьшением х₁ должно увеличиваться х_г, чтобы сохранялось отношение безразличия вдоль кривой. Эти кривые называют так­же кривыми обмена или траекториями безразличия. В случае большой размерности говорят уже о поверхностях безразличия или о поверхностях обмена. Экономисты используют термин «кар­та безразличия», понимая под этим набор траекторий безразличия. В экономических исследованиях часто предполагается, что тра­ектории выпуклы в сторону начала координат, как, например, кривые, расположенные вблизи начала координат на рис. 2.