3.3. Формирование количественных ограничений

Рассмотрим несколько вариантов методики определения для дискретного множества исходов:

1) Случай, когда имеются два результата. Методика определения полезности такова:

a) Определяем какой результат более предпочтителен для лица, принимающего решения. Если x₁>x₂, то x₁ предпочтительнее, чем x₂.

b) Определяем вероятность а, при которой достижение результата x₁ будет эквивалентно результату x₂, полученному с вероятностью 1.

c) Оцениваем соотношение между полезностями результатов x₁ и x₂. Для этого примем полезность u(x₂)=1.

Тогда

au(x₁)=u(x₂), u(x₁) =1/a.

2) Случай, когда имеются n возможных результатов x₁,x₂,…,x_n, между которыми установлено отношение предпочтения x₁>x₂>x₃>…>x_n.

Для этого случая методика определения полезности следующая:

а)

a₁u(x₁)=u(x₂).

a₂u(x₂)=u(x₃),

……………….

a_n-1u(x_n-1)=u(x_n).

b) Положив полезность наименее предпочтительного результата x_n равным единице, находим

………………..

Под формированием количественных ограничений будем понимать определение (вычисление) нескольких точек на кривой, описывающей функцию полезности лица, принимающего решение. Следуя аксиоме 4, выберем x* и х⁰, такие, что х* по крайней мере так же предпочтителен, как любые другие исходы, каждый из которых в свою очередь не менее предпочтителен, чем х⁰. Затем можно произвольным образом назначить конкретные значения полезности двум данным исходам при условии, что u(х*)>и(x⁰). Далее мы хотим получить значение х (назовем его x₁), такое, что исход х₁ равноценен лотерее с точки зрения лица, принимающего решение. Тогда, поскольку полезности такого исхода и лотереи L₁ должны быть равны, можно записать

. (3.2)

Уравнение (3.2) дает третью точку на графике функции полезности (рис. 3.1). Аналогично используя экспертные оценки гарантированных эквивалентов х₂ и x₃ для соответствующих лотерей и , получим значения полезности еще для точек:

С помощью такого метода всегда можно получить по известным значениям полезности двух исходов значение полезности третьего исхода.

Очень важным является вопрос о том, как найти значение гарантированных эквивалентов. Для получения гарантированного эквивалента требуется процедура взаимодействия исследователя с лицом, принимающим решение (экспертом). Эксперт должен сделать несколько выборов между предлагаемой ему лотереей и предлагаемыми исходами. Например, выбираем исход x_a, и спрашиваем эксперта: «Исход x_a предпочтительнее лотереи L₁?» Независимо от ответа нужно знать, как следует изменить значение х (увеличить или уменьшить), чтобы найти искомый гарантированный эквивалент х₁.

Р ис. 3.1. Функция полезности

Предположим, что заранее было очевидно, что истинное х₁ должно быть больше, чем x_a. Тогда следовало бы выбрать x_b такое, что x_b>x_a, и спросить эксперта, что предпочтительнее: х_b или L₁? После ответа снова нужно знать, как следует изменить значение х (увеличить или уменьшить). Такой интерактивный процесс (взаимодействие с экспертом) сходится постепенно к исходу х₁, равноценному лотерее L₁, т.е. к гарантированному эквиваленту.

В работе [69] выдвигаются два важных прагматических соображения, которые следует иметь в виду при оценке полезности исходов. Во-первых, исходы, предлагаемые эксперту в качестве вопросов, должны иметь содержательный смысл. Во-вторых, диапазон предлагаемых исходов простых лотерей должен быть до­статочно широк, т. е. необходимо, чтобы исходы отличались друг от друга. Если эти два соображения не учитываются, то ответы лица, принимающего решение, приносят мало пользы для определения предпочтений.