Полезность.

Пусть и — вещественная функция, определенная на X. Функция и называется функцией полезности для отношения предпочтения на X, если и(х) > и(у) для любых x и y, таких, что х y; и называется совершенной функцией полезности для отношения на X, если для всех х и у из Х справедливо неравенство и(х) > и(у) тогда и только тогда, когда х у. Пусть отношение на Х может существовать, если только отношение является слабым упорядочением, и пусть для этого отношения определена совершенная функция полезности u; тогда , если и только и(х)=и(у). Отсюда следует, что классы безразличия в Х совпадают с подмножествами альтернатив, имеющих равную полезность. В этом случае классы безразличия называют также контурами равной полезности.

Пусть и — совершенная функция полезности для отношения на X. Некоторая функция v также является совершенной функцией полезности для отношения на X, если и только если для любых x и у из Х справедливо неравенство v(x) :> v(у} тогда и только тогда, когда и(x) > и(y). Если и , то функции и и v будут функциями полезности для отношения на X. Тот факт, что в одном случае полезность у равна 99, а в другом только 1, не имеет принципиального значения.

Теория принятия решений использует различные процедуры, позволяющие формализовать предпочтение, т.е. выразить их в единой количественной мере. Основой для таких процедур является теория полезности, разработанная Дж. Фон Нейманом и О. Моргенштерном [33]. Ее математическая основа – система аксиом, в которых утверждается, что существует некоторая мера ценности, позволяющая упорядочить результаты решения. Эта мера называется функция полезности решений или полезностью.

Системы аксиом, позволяющие доказать существование определенной функции полезности (аддитивной, мультилинейной и др.) описаны в [34-37].

Аксиоматические методы предполагают принятие ряда аксиом о характере предпочтений ЛПР и основаны на доказательстве существования скалярной положительно-определенной функции полезности на множестве альтернатив. Т.е. функция полезности рассматривается в качестве критерия, к которому сводится векторный критерий.

Во всех рассуждениях данного раздела предполагается, что бинарное отношение предпочтения определено на Р — множестве всех простых распределений вероятностей p, q, ..., заданных на непустом множестве X. Элементами Х могут быть чистые стратегии или альтернативы, либо же они могут представлять собой исходы, или последствия, некоторых решений, принимаемых в ситуациях, содержащих элемент риска; вероятности таких исходов описываются некоторым распределением из Р.

Простым распределением вероятностей р называется вещественная функция Р, которая принимает положительные значения на большинстве элементов х из конечного множества X, а сумма всех значений р(х) равна единице. Мы не будем рассматривать непростые распределения. В зависимости от контекста распределения из Р часто называют ставками, играми, лотереями, альтернативами риска, смешанными стратегиями и рандомизированными стратегиями. Для любых распределений р и q из Р выражение называется прямой линейной комбинацией распределений р и q; здесь  — действительное число, заключенное между 0 и 1. Таким образом, если , то для любого x из X. Если р и q принадлежат Р и , то также принадлежит Р.

Предположим, что элементами Х являются некоторые суммы денег и пусть р(0 долл.)=0,3; р (10 долл.)=0,2; р (20 долл.)=0,5; q (7 долл.)=0,7; q (10 долл.)=0,3 и . Тогда ;r(0 долл.)=0,15; r(7долл.)=0,35; r(10 долл.)=0,25 и r(20 долл.)=0,25.