Проверка условия независимости по предпочтению

При проверке условия независимости по предпочтению рас­сматривают плоскости, где по осям отложены значения двух критериев. Пример такой плоскости для критериев С₁ , С₂ при­веден на рис. 5.2. Сначала предполагается, что по прочим кри­териям (в нашем случае — по критерию С₃) имеются наилучшие значения (Сз = 5 тыс. человек). Первоначально ЛПР должен определить свое предпочтение между альтернативами [(C₂)m₁in; (C₁)max] и [(C₂)max; (C₁)min]. В нашем случае ЛПР сравнивает площадки для постройки аэро­порта с оценками (40 мин., $200 млн) и (90 мин., $100 млн) — две крайние точки А и В на осях, при условии, что С₃= 5 тыс. Предположим, что вариант А предпочтительнее. Это означает, что критерий стоимости более важен для ЛПР, чем критерий расстояния. Далее определяется такая точка на шкале крите­рия С₁, что варианты А и К одинаково предпочтительны для ЛПР. Иначе говоря, ищется та­кая стоимость строительства С*, при которой одинаково предпоч­тительны варианты (90 мин., $100 млн) и (40 мин., С,*). За­тем точно такой же поиск точки безразличия осуществляется при Сз=50 тыс. Если результаты совпадают, то делается вывод, что пара С₁,₂ С₂ не зависит по предпочтению от третьего критерия.

90мин

Для полной проверки условия независимости по предпоч­тениям следует рассмотреть все пары критериев. Однако при приближенной

40 мин

проверке выбираются один или два наиболее существенных критерия и прочие рассматриваются только в паре с ними [7]. При проверке и первого, и второго условий критерии, независимость от которых проверялась, имели крайние значения. Строго говоря, следовало бы рассмотреть и промежуточные значения, но обычно такая проверка считается достаточной. Что делать, если какие-то из условий независимости не выполняются? Теория не дает единственного ответа на этот во­прос. Предлагается определить группу независимых критериев, стоимость функции полезности для подгрупп зависимых и не­зависимых критериев [ и общую функцию полезности «по частям» либо переформулировать задачу. Можно сказать, что нарушение условий независимости существенно усложняет задачу. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что условия независимости выполняются.

Определение весовых коэффициентов (коэффициентов важности) критериев

В MAUT существенно используется понятие весов (коэффи­циентов важности) критериев. Считается, что ЛПР может найти коэффициенты — числа, которые определяют важность критери­ев. Отношения между весами критериев устанавливаются поис­ком точек безразличия на плоскостях двух критериев. В отличие от проверки условий независимости по предпочтению, по осям упорядочиваются значения критериев от худших к лучшим.

На рис. показана плоскость критериев С₁, С_{2 .}

Альтернати­вы А и К находятся в отношении безразличия, которое определя­ется так же, как и при проверке условия независимости по пред­почтению что по­зволяет записать U($200 млн, 40 мин.) = U($170млн, 90мин.)

В точке равновесия полезно­сти альтернатив равны.

Отметим, что U(40мин.)=1; U(90мин.)=0; U($100млн)=1; U($200млн)=0.

Для аддитивной функции полезности U =∑w_iU_i.

Тогда U($200 млн) w₁ + U(40 мин.) w₂ = U($170 млн) w₁ + U(90 мин.) w₂.

Отсюда w₂(U(40 мин.)- U(90 мин.))= w₁(U($170 млн)- U($200 млн)).

w₂= w₁ U($170млн).

Используя полученные ранее однокритериальные функции полезности определяем, что U($170млн)=0,4. Находим w₂=0.4 w₁ .Аналогичным образом определяется соотношение между весами критериев C₁ и С₃.

Пусть U($150млн)= 0,6, тогда w₃=w₁U($150млн)=0,6w₁. Итак, мы выразили веса всех критериев через вес наиболее важного из них и упорядочили критерии по важности. Пусть w₁=1, тогда w₃=0,6w₁=0,6; w₂=0.4 w₁=0,4.

Определение полезности альтернатив

После нахождения весов критериев и построения однокритериальных функций полезности задача решена. Действитель­но, найдена общая функция полезности. В соответствии с тео­ретическими результатами остается установить вид функции полезности. В нашем примере сумма коэффициентов важности критериев ∑w_i =2. Принято, чтобы ∑w_i =1. В связи с этим произведем нормировку коэффициентов. Будем обозначать нормированные коэффициенты как

w^* _i.

Тогда w^* _i=w_i \∑w_i. В нашем случае получим w₁=0,5, w₂=0,2, w₃=0,3.

Выбираем аддитивную форму представления функции по­лезности:

U(x) =∑w_iU_i(x).

Зная оценки альтернатив (вариантов площадок), можем подставить их в эту формулу, определить полезность каждой аль­тернативы, сравнить полезности и выбрать альтернативу с наи­большей полезностью.