1.2. Вероятность, основанная на имеющихся данных и результатах моделирования

Если имеются данные о возможности наступления интересую­щих нас событий, то их можно использовать для формирования суждений о вероятностях событий. Пусть E_l, Е₂, . .., Е_п — пол­ный набор взаимоисключающих событий. Если в каждом из N испытаний наблюдалось одно из событий: или Е₁ или Е₂, ..., или Е_п, причем N_i раз наблюдалось событие Е_i то вероятность E_i равна N_i/N. Например, если среди последних 25 000 звонков о пожаре в городе 10 000 оказались ложными, то субъективно можно поло­жить, что вероятность ложного сигнала о пожаре равна 0,4. Далее будет рассмотрен способ взаимосвязи таких данных с оцен­ками суждений.

В некоторых ситуациях имеющиеся данные можно уточнить и дополнить. Например, можно построить аналитическую или имитационную модель, чтобы выяснить влияние различных пара­метров на входе на важнейшие переменные на выходе. При помощи такой модели можно получать вероятности появления интересую­щих нас переменных на выходе, используя данные о вероятностях появления переменных на входе. В аналитических моделях приме­няется теория получения распределений вероятностей , а при имитационном моделировании — метод Монте-Карло .

1.3. Определение вероятности одиночного события

Вероятности интересующих нас событий часто трудно полу­чить из-за недостатка статистических данных и сведений. Осо­бенно это касается ситуаций, в которых приходится принимать единственные в своем роде стратегические решения. В таком слу­чае необходимо выработать суждения либо о входных переменных модели, либо о самих представляющих интерес величинах. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что нас интересует событие Е и ему приписана субъективная вероятность р (Е), которая пока не определена.

Сначала построим две лотереи (рис. 1): L₁ = (х*, р, х°) и L₂, которая имеет исход х*, если осуществилось событие Е, и исход х°, если событие E не произошло. Исход х* выбирается так, что он является более предпочтительным, чем х°. Затем при фик­сированном значении р лицу, принимающему решение, задается вопрос: «Какая лотерея более предпочтительна или они равноцен­ны?» Если L₁ L₂, то величину р уменьшают и повторяют воп­рос. Если L₂ L₁, то увеличивают р и снова повторяют вопрос. Через несколько итераций найдется такое значение р (обозначим его через р'), при котором L₁ равноценна L₂ (L₁ ~ L₂). Тогда субъективная вероятность события Е равна р' (т. е. вероятность события, определенная на основе суждения лица, принимающего решение). Если E_i (i = 1, 2, . . ., п) — полный набор всех взаимоисключающих событий, то . Оценки вероятностей, полученные на основе суждений некоторого лица, следует под­ставить в эту сумму и, если сумма не равна единице, то необхо­димо изменить рассматриваемые оценки

1.4. Оценочные суждения о распределении вероятностей

Наиболее общим подходом к оценке распределения вероятно­стей величин, принимающих бесконечное количество значений, является так называемый дробный метод. Согласно этому методу, берут несколько точек функции распределения рассматриваемой величины и затем «подгоняют» кривую, оптимальным образом про­ходящую через эти точки.

Предположим, что мы хотим получить распределение вероят­ностей некоторой величины X; конкретные значения X обозна­чим через х. Например, X может быть доходом, а х = 100 000 долл. Сначала попытаемся оценить дробь 0,5, т. е. такое значение х₀₅, при котором вероятность события (X < х₀₅) равна 0,5. Лицу, принимающему решение (или назначенному эксперту), задают вопрос: «При каком значении х равновероятно, что величина X будет больше или меньше этого значения?» Ответ на поставленный вопрос можно получить, используя итерационную процедуру, описанную в предыдущем разделе. В результате применения этой процедуры получается значение х₀₅. Затем задают следующий вопрос: «Предполагая, что величина X меньше значения х₀₅, какое значение х разделит интервал [ -∞, х₀₅] на равновероятные

части?» Ответ на этот вопрос есть х_0,25, т. е. дробь 0,25. Конечно, вероятность (X < х_0,25) должна быть равна 0,25. Аналогично полу­чаем значение £_{0 75}. И наконец, попытаемся оценить значения х_0,01 и х_0,99 задавая, например, вопрос: «Какое значение х Вы бы выбрали, чтобы вероятность того, что величина X меньше этого х, составляла 0,01?» Ответом будет значение х₀₀₁.

Продолжая такое дробление, можно получить набор величин х_к, таких, что вероятность (X < x_к) равна к, т. е.

Р(Х<х_к)=к. (13)

Точки (x_к, к) можно нанести на график, как показано на рис. 2, и гладкая кривая, соединяющая их, будет представлять функцию распределения вероятностей величины X. Продифференцировав эту функцию, получим плотность вероятности.