Оценочная функция

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгод­нейшему варианту решения даже в том случае, когда каким-то вариантам решений α_i могут соответствовать различные усло­вия Q_j, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функ­ции. При этом матрица решений А=\\a_ij\\ сводится к одному столб­цу. Каждому варианту r_i приписывается, таким образом, не­который результат a_im характеризующий, в целом, все послед­ствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом a_im

Возникает, однако, проблема, ка­кой вложить смысл в результат a_im

Если, например, последст­вия каждого из альтернативных решений характеризовать ком­бинацией из его наибольшего и наименьшего результатов, то можно принять

a_im = min a_ij+ max a_ij .

_{j j}

Наилучший в этом смысле результат имеет вид

К_к = max a_im = max (min a_ij+ max a_ij ). (1)

_{i i j j}

Формируя таким образом желаемый результат, кон­структор исходит из компромисса между оптимистическим и пессимистическим подходами.

Рассмотрим теперь некоторые другие оценочные функции, которые в данном примере мог бы выбрать конструктор, а так­же соответствующие им исходные позиции.

Оптимистическая позиция:

K_о= max a_im= max (max a_ij ). (2)

_{i i j}

Из матрицы результатов решений (табл.) выбирается ва­риант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наибольший из всех возможных результатов. Наш конструктор становится на точку зрения азартного игрока. Он делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай, и исходя из этого выбирает размеры изделия.

Позиция нейтралитета:

K_н = max a_im= max (3)

_{i j}

Конструктор исходит из того, что все встречающиеся отклоне­ния результата решения от «среднего» случая допустимы, и вы­бирает размеры, оптимальные с этой точки зрения.

Пессимистическая позиция: - Критерий максимина (MM)

K_mm= max a_im = max (min a_ij ). (4)

_{i i j}

Конструктор исходит из того, что надо ориентироваться на наименее благоприятный случай и приписывает каждому из аль­тернативных вариантов наихудший из возможных результатов. После этого он выбирает самый выгодный вариант, т. е. ожида­ет наилучшего результата в наихудшем случае. Для каждого иного внешнего состояния результат может быть только рав­ным этому или лучшим.

Позиция относительного пессимизма: - Критерий Сэвиджа

K_c = min a_im = min max(max a_{ij _–} a_ij). (5)

_{i i j j}

Для каждого варианта решения конструктор оценивает потери в результате по сравнению с определенным по каждому вари­анту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихуд­ших результатов выбирает наилучший согласно представлен­ной оценочной функции.

Пусть природа находится в состоянии Q_s, найдем максимальный элемент s-го столбца табл. 1.1,

.

Мера сожаления определяется как разность

где если если Тогда при состоя­нии природы Q_s лучшей операцией является : для нее сожаление равно нулю. Изменяя последовательно значения s, s = 1,2,…, n, получим сожа­ление для каждой операции a_i, i=1,2,…, m, при любом состояния природы Q_s, s=1,2,…, n. Матрица сожалений представлена в табл. 1.2.

Для принятия решения к табл. 1.2 применяется критерий минимакса (minmax): для каждой операции a_i, i=1,2,…, m, находится наибольшее со­жаление,

Таблица 1.2

Q j ai	Q1	Q2	…	Qn
a1	11	12	…	1n
a2	21	22	…	2n
…	…	…	…	…
am	m1	m2	…	mn

Затем среди членов последовательности , i=1,2,…, m, s = 1,2,…, n, находится минимальный

Последние два равенства соединим в одно:

(1.7)

Принимаемое решение – наилучшая операция

Критерий равновозможных состояний

По этому критерию выбирается та операция a_i0, для которой сумма полезностей максимальна,

K_рс = . (6)