3.4. Выбор функции полезности

Предположим, что можно найти некоторое параметрическое семейство функций полезности, которые обладают определенными заранее установленными свойствами. Обозначим такое семейство функций полезности через , где — параметры. Тогда выбор соответствующей функции полезности сводится к выбору значений параметров. Это проще и удобнее, чем определять полностью функцию полезности. Кроме того, параметрическое задание функции полезности позволяет провести анализ чувствительности без излишних вычислений. Мы полагаем, что достаточно было бы трех параметров, чтобы описать большинство ситуаций, поскольку тремя или меньшим количеством параметров можно моделировать широкий диапазон характеристик отношения к риску.

Используя параметрическую форму записи и предыдущие оцен­ки отдельных частей кривой полезности [например, (2.6)], можно записать уравнение

, (3.6)

где число неизвестных равно числу параметров. Используя значения гарантированных эквивалентов, полученных экспертным путем, запишем столько уравнений, сколько неизвестных, и раз­решим их относительно параметров, чтобы иметь возможность построить функцию полезности, как показано на рис. 3.1.

Для проверки внутренней совместимости смешанного набора качественных и количественных ограничений, налагаемых на функцию полезности, разработан метод, описанный в [52]. Те же идеи использованы в работе [70], где приводится ряд программ Для выбора функции полезности, которая описывает отношение лица, принимающего решение, к риску и соответствует его эмпирическим оценкам предпочтений.

3.5. Проверка на согласованность.

Существует большое число способов, которые можно использовать для обнаружения ошибок функции полезности, построенной по ответам эксперта. Под ошибкой мы понимаем ситуацию, когда функция полезности неадекватно отражает истинные предпочтения эксперта. Можно использовать, например, перекрестную проверку, чтобы установить, выполняются ли для конкретного лица определенные качественные характеристики, такие, как уклонение от риска. Один из обычно применяемых тестов включает вопрос о том, как распределяются предпочтения между лотереей и некоторым исходом или между двумя лотереями. В обоих случаях ожидаемая полезность предпочитаемой ситуации, вычисленная на основании функции полезности эксперта, должна быть больше для этой ситуации, чтобы не возникло противоречия. Как только исследователь почувствует неуверенность относительно некоторых аспектов функции полезности эксперта, ему следует их проверить еще раз и сделать соответствующие исправления.

Одна из наиболее общих и существенных ошибок, которые обыч­но делаются при оценке функций полезности, связана с подбором параметров при использовании очень узких диапазонов изменения гарантированных эквивалентов лотерей. Например, предположим, что лицо, принимающее решение, считает гарантированный экви­валент лотереи L(200, ,0) равным 80, и пусть функция полезности для стратегии постоянного уклонения от риска определяется, исходя из этого. Экстраполяция гарантированного эквивалента, основанная на результирующей функции полезности, даст зна­чение гарантированного эквивалента для лотереи L(1000, ,0), которое будет много меньше, чем эмпирическая оценка эксперта. Из функции полезности мы можем получить, что гарантированный эквивалент равен 250, а эксперт может указать некоторую величину, равную 400 или даже более. Во избежание таких несоответствий следует подбирать параметры на основе лотерей с диапазо­ном изменения гарантированных эквивалентов, соответствующим изучаемой проблеме.

Классическая и поведенческая модели принятия решений.

Опишем кратко классическую и поведенческую модели принятия решения с помощью следующих шести конструкций [25]:

1) множество А альтернатив а, объективно приемлемых для достижения цели;

2) множество А' альтернатив, которые принимающий решение человек воспринимает и рассматривает

3) множество Z возможных состоянии природы z, которые не контролируемы принимающим решение человеком.

4) множество О возможных исходов о;

5) функция исхода r; выражает связь между комбинацией любой альтернативы а с любым состоянием природы z и любым исходом о. Другими словами, Отсюда выделяем мно­жество O_a исходов при альтернативе a, где O_a—подмножество О и ;

6) функция выигрыша n выражает соответствие между любым исходом о и его выигрышем, или величиной g. Система предпочтений — это субъективное отражение цели принимающего решение человека, или оценочное суждение. Короче, где G— множество выигрышей достоинства g.

Составная функция w определяется как композиция функции исхода r и функции выигрыша n, т. е. . Таким образом, множество Ga выигрышей по альтернативе а определяется как подмножество G, такое, что .

Функция выигрыша n, — это единственная важная конструкция, которая отличает классическую модель принятия решения от поведенческой. Классическая модель строится на предположении, что функция выигрыша - действительнозначная, линейно упорядочивающая все исходы. В противоположность этому поведенческая модель строится на предположении, что функция выигрыша имеет только два или три значения, иными словами, в ней предполагается упрощенная функция выигрыша.

В классической модели принимающий решение человек с помощью действительнозначной функции выигрыша назначает каждой альтернативе действительное число. Для человека, принимающего решение, не составляет труда выбрать альтернативу, когда каждой из них поставлен в соответствие только один выигрыш. Он просто выбирает альтернативу с наибольшим выигрышем. Это называется принятием решения в условиях определенности.

Однако когда принимающий решение человек не обладает полным знанием о состояниях природы, тогда каждой альтернативе назначается несколько выигрышей. Выбор в таких условиях называется принятием решения или в условиях риска, или в условиях неопределенности. Решение принимается в условиях риска в случае, если принимающий решение человек знает возможные состояния природы и распределение их вероятностей. Решение принимается при неопределенности в случае, если принимающий решение знает возможные состояния природы, но не знает распределения их вероятностей.

В обоих случаях, как при риске, так и при неопределенности, каждую альтернативу нужно характеризовать единственным действительным числом, соответствующим выигрышу. В случае риска характеризация каждой альтернативы числовым значением получается взвешиванием выигрышей по вероятности их получения, в результате чего выводится ожидаемый выигрыш. В случае неопределенности существует несколько методов для получения ожидае­мого значения, ни один из которых не стал общепризнанным. Согласно одному методу предлагается брать значение наименьшего соответствующего выигрыша, согласно другому — медиану, т. е. среднее от наибольшего и наименьшего выигрышей, согласно третьему — равномерно взвешенное среднее всех выигрышей.

Если процедура выбора человеком, принимающим решение, описана классической моделью, то в его распоряжении имеется действительная функция выигрыша. Таким образом, он может выбрать самую благоприятную альтернативу. В противополож­ность этому Саймон в своей статье 1955 года A Behavioral Model of Rational Choice предложил модель принятия решения, в которой принимающий решение не имеет такого рода функции выигрыша из-за своей “ограниченной рациональности”. Модель Саймона — поведенческая модель или, судя по ее содержанию, компенсаторная модель принятия решений. Самая уязвимая черта модели — функция выигрыша принимающего решение, меняющаяся в пределах двух-трех значений.

Говорят, что принимающий решение имеет функцию выигрыша с двухзначными элементами, если относительно любого исхода он выдает оценку “хорошо” или “плохо”, либо “удовлетворительно” или “неудовлетворительно” в зависимости от целей или системы предпочтений. Оценка отражает желаемый уровень достижения цели или уровень удовлетворенности принимающего решение человека. В случаях, когда исход удовлетворяет желаемым условиям, принимающий решение человек назначает этому исходу, например, значение выигрыша “единица”. В противном случае будет назначено значение “ноль”. Исходы с выигрышем “единица” составляют множество O' удовлетворительных исходов . Функция выигрыша, элементы которой принимают два значения, имеет вид

В соответствии с этой процедурой человек, принимающий решение, не может просто единым махом выбрать наиболее благоприятную альтернативу. Во-первых, он должен сформировать понятие удовлетворительной альтернативы, расширив свое множество (А') воспринимаемых альтернатив. Далее, существует также проблема окружающей среды: если он не уверен, в каком состоянии природы принимается решение, то для каждой альтернативы существует несколько возможных исходов. В этом случае Саймон рекомендует человеку, принимающему решение, выбирать ту альтернативу, любой исход которой удовлетворителен

В классической модели альтернативы упорядочиваются по отношению неравенства ( ). Принимающий решение выбирает альтернативу с наибольшим значением выигрыша. В противоположность этому поведенческая модель характеризуется отношением включения ( ). Принимающий решение человек выбирает альтернативу, множество возможных исходов которой содержится во множестве удовлетворительных исходов.

Принятие решений в условиях неопределенности

Пусть имеется совокупность действий, операций

а₁, а₂, ..., а_m, m  2, (1.3)

которые может совершить человек для достижения поставленной цели, причем одну и только одну операцию а_i, i{1, 2, ..., m}, выбирает человек, принимающий решение.

Кроме того, представлен перечень объективных условий, например, состояний природы

Q₁, Q₂, ..., Q_n, (1.4)

одно из которых Q_j, j{1, 2, ..., n}, будет иметь место в действительности.

Для каждой операции а_i, i = 1, 2, ..., m, при любом условии Q_j, j = 1, 2, ..., n, задана полезность (выгода, доход) в некоторых единицах _ij. Величины _ij, играющие роль платежей в теории игр, обычно задаются из эвристических, субъективных соображений. При этом возникают специфические трудности при их числовой оценке, обусловленные такими факторами, как болезни, удовольствия, престиж, репутация и т.д. Величины _ij можно задавать относительно, поэтому их называют показателями предпочтительности.

Все перечисленные условия, при которых принимается решение, представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Объективные условия Операции	Q1	Q2	…	Qn
a1	11	12	…	1n
a2	21	22	…	2n
…	…	…	…	…
am	m1	m2	…	mn

Если ЛПР не располагает никакой информацией о состояниях природы (3.4), то имеем ситуацию принятия решения в условиях неопределенности. Рассмотрим три известных подхода ПР в этой ситуации.