6.2. Статистические распределения ущерба

Рассмотрим несколько типичных вариантов зависимости меж­ду вероятностью и величиной ущерба, которые может нам дать некоторый набор событий для отдельного вида риска.

На рис. 6.1 А представлен вариант функции распределения ве­личины убытка для отказов некоторой промышленной установки. Небольшие убытки происходят с наибольшей частотой. Такие слу­чаи соответствуют отказам отдельных деталей установки, мелким неполадкам, которые могут быть устранены без особых затрат.

Максимальные убытки соответствуют крупным авариям, вплоть до полного разрушения установки. Вероятность наступле­ния таких случаев наименьшая. Эта область убытков соответствует правой части диаграммы.

Ущерб

Рис.6.1. Типичный вид простой зависимости «вероятность — ущерб»;

А — для отдельных событий;

Б — для убытков, суммированных в течение финансового года

На рис. 6.1 Б показана функция распределения, характерная для убытков, уже суммированных внутри определенного периода вре­мени, например финансового года. Диаграмма строится следую­щим образом:

• горизонтальная ось делится на равные интервалы;

• группируются все события с размерами убытков, попадающими в выделенный интервал на горизонтальной оси и произошед­шими в течение рассматриваемого периода (года);

• подсчитывается общее количество случаев убытков для данного интервала и нормируется на общее число случаев убытков в те­чение рассматриваемого периода (таким образом рассчитывает­ся вероятность возникновения убытков, имеющих величину внутри выделенного интервала);

• данная процедура проводится для всех выделенных интервалов

на горизонтальной оси, в которые попадает хотя бы один слу­чай убытков.

На рис. 6.1 Б видно, что по сравнению с рис. 6.1 А вероятность наступления самых маленьких убытков уменьшилась. Это легко объяснимо, ведь в течение года обязательно происходят какие- нибудь неблагоприятные ситуации. Кроме того, на диаграмме поя­вился максимум, соответствующий наиболее вероятному значению убытка.

Диаграммы, показанные на рисунке, обнаруживают два общих свойства, характерных для распределений ущербов различного типа: дискретность и неполноту представленных данных. Дейст­вительно, на графиках имеются области, где данные отсутствуют по различным причинам. Это обстоятельство создает определен­ные сложности для применения методов теории вероятностей в управлении риском и получения надежных результатов. Здесь мы сталкиваемся с таким понятием, как наличие репрезентативной статистики для проведения анализа риска.

Для каждой дискретной зависимости «вероятность — ущерб», полученной опытным путем, может быть подобрана непрерывная функция соответствующего вида. Функция распределения может быть выражена в простой или интегральной форме. В случае на­личия неполных и недостаточно достоверных данных удобнее ис­пользовать интегральную форму, поскольку она менее критична к возможным ошибкам и пропускам в данных.

На рис. 6.2 показана типичная зависимость «вероятность — ущерб», представленная в интегральной форме.

Далее, встает вопрос о выборе вида функции, которой может быть аппроксимирована эмпирическая зависимость. Для рядов данных по различным типам ущерба чаще всего используются три вида функций: нормальная (или гауссовская), экспоненциальная (больцмановская) и самоподобная (функция Парето).

Наиболее часто используемой функцией является гауссовское или нормальное распределение. В каноническом виде нормальное распре­деление случайной величины х записывается следующим образом:

(6.1)

где а, σ— параметры распределения;

х — размер ущерба;

f(x) — плотность распределения вероятности ущерба х.

Ущерб

Рис. 6.2. Интегральная зависимость «вероятность — ущерб» н ее аппроксимация нормальной функцией распределения

Интегральная функция распределения определяется следую­щим образом:

(6.2)

где f — функция плотности распределения вероятности.

На рис.6.2 показана также аппроксимация дискретной зависи­мости «вероятность — ущерб», построенной в интегральной фор­ме, нормальной функцией распределения.

Д

(6.3)

ругим типом распределения вероятности ущерба, часто встречающимся в теории природных и техногенных процессов, является распределение Больцмана (экспоненциальное), которое имеет следующий вид:

Интегральная функция распределения вероятности имеет при этом следующий вид:

F(x) = l-e^-λх. (6.4)

Третьим, характерным в основном для природных рисков, фи­зическим распределением является распределение Парето (или самоподобное распределение). Функция плотности вероятности распределения ущерба при этом убывает по степенному закону:

(6.5)

И

(6.6)

нтегральная функция распределения вероятности Парето имеет следующий вид:

В теории вероятностей доказано: функция распределения суммы большого числа независимых случайных величин близка к нормаль­ному распределению при условии, что совокупность случайных вели­чин обладает конечными моментами первого и второго порядков. Это утверждение носит название центральной предельной теоремы. Большинство рисков возникает именно как результат действия боль­шого числа независимых случайных факторов и поэтому может быть описано нормальным распределением. Данному условию удовлетво­ряют отказы и аварии технических систем, потери на финансовом рынке, риски ущерба жизни и здоровью и др.

Самоподобное распределение характерно для большинства природных катастроф, таких, как землетрясения и наводнения. Больцмановское распределение является промежуточным типом между предыдущими двумя.

Из трех описанных распределений только самоподобное не име­ет конечных центральных моментов первого и второго порядков.