- •1. Основні теоретичні положення регресійного аналізу
- •1.1. Кореляційна залежність
- •1.2. Основні математичні поняття,
- •1.3. Передумови використання
- •2. Парний регресійний аналіз
- •2.1. Лінійна парна регресія
- •2.2. Властивості оцінок
- •2.3. Лінійний коефіцієнт кореляції
- •2.4. Коефіцієнт детермінації
- •2.5. Оцінка значущості рівняння регресії
- •2.6. Прогноз залежної змінної.
- •2.7. Приклад 1.
- •2.8. Нелінійна парна регресія
- •2.9. Дослідження нелінійних рівнянь
- •2.10. Приклад 2.
- •2.11. Побудова функції парної регресії
- •2.12. Побудова графіку функції
- •2.13. Питання для самоперевірки
- •3. Багатофакторний регресійний аналіз
- •3.1. Класична нормальна лінійна модель
- •3.2. Коефіцієнти детермінації і кореляції.
- •3.3. Перевірка значущості параметрів
- •3.4. Прогноз залежної змінної
- •3.5. Приклад 3. Знаходження двофакторної моделі
- •3.6. Використання пакету анализ данных
- •3.7. Використання Excel для розрахунку
- •Введення і підготовка даних
- •4. Мультиколінеарність
- •4.1. Поняття і наслідки мультиколінеарності
- •4.2. Алгоритм Фаррара – Глобера
- •4.3. Приклад 4.
- •4.5. Питання для самоперевірки
- •5. Гетероскедастичність
- •5.1. Поняття гетероскедастичності
- •5.2. Виявлення гетероскедастичності.
- •5.3. Приклад 5. Дослідження даних
- •5.4. Виявлення гетероскедастичності.
- •5.5. Приклад 6. Дослідження даних
- •5.6. Непараметричний тест Гольдфельда-Квандта
- •5.7. Питання для самоперевірки
- •6. Автокореляція
- •6.1. Поняття автокореляції.
- •6.2. Критерій Дарбіна-Уотсона
- •6.3. Приклад 7. Дослідження моделі на наявність
- •6.4. Питання для самоперевірки
- •7. Індивідуальні комплексні завдання
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Предметний покажчик
- •Література
- •Коефіцієнтів автокореляції залишків
- •Критичні значення і для коефіцієнта автокореляції залишків критерія Дарбіна-Уотсона для
- •Критичні значення і для коефіцієнта автокореляції залишків критерія Дарбіна-Уотсона для
- •Значення критерія Пірсона
- •Квантилі розподілу Стьюдента
- •83050, М. Донецьк, вул. Щорса, 31.
- •83023, М. Донецьк, вул. Харитонова, 10
3.5. Приклад 3. Знаходження двофакторної моделі
лінійної регресії
Приклад 3. Побудувати двофакторну модель лінійної регресії залежності заробітної плати від рівня рентабельності та затрат капіталу для деякого підприємства. Необхідні дані наведено в таблиці.
Таблиця 3.1
, ум. од. |
63 |
70 |
80 |
84 |
69 |
72 |
70 |
, % |
10,7 |
11,0 |
12,2 |
12,4 |
10,9 |
11,3 |
11,1 |
, ум. од. |
38 |
29 |
30 |
25 |
24 |
31 |
30 |
За допомогою статистичних критеріїв перевірити модель на адекватність.
Зробити прогноз значення для =15%, =40 ум. од.
Розв’язання.
1. Лінійна двофакторна модель має вигляд
.
Оцінки параметрів моделі знаходяться з матричного рівняння (3.1.6)
,
де
, , ,
,
– матриця транспонована до .
Згідно з оператором оцінювання обчислюємо:
, ,
, .
Отже, економетрична модель багатофакторної регресії для заробітної плати запишеться так
,
або для кожного значення
, .
Виходячи з побудованої моделі, можна зробити такі попередні висновки: якщо незалежна змінна (рівень рентабельності) збільшується на одну одиницю, то – заробітна плата збільшується на 9,65 одиниць, якщо змінна – затрати капіталу зростають на одну одиницю, то заробітна плата зменшується на 0,31 одиниць.
2. Обчислимо коефіцієнт детермінації , для цього скористаємось формулою (3.2.6)
.
Для обчислення заповнимо допоміжну розрахункову таблицю 3.2.
Таблиця 3.2
№ з/п |
|
|
|
|
1 |
63 |
63,48 |
0,23 |
91,61 |
2 |
70 |
69,16 |
0,70 |
6,61 |
3 |
80 |
80,43 |
0,19 |
55,18 |
4 |
84 |
83,92 |
0,01 |
130,61 |
5 |
69 |
69,75 |
0,56 |
12,76 |
6 |
72 |
71,43 |
0,31 |
0,33 |
7 |
70 |
69,82 |
0,03 |
6,61 |
|
508 |
508 |
2,03 |
303,71 |
Сер.зн. |
72,57 |
– |
– |
– |
Тоді
.
Коефіцієнт детермінації показує, що на 99,33% значення заробітної плати визначається факторами затратами капіталу та рівнем рентабельності і на 0,67% визначається іншими факторами.
Коефіцієнт багатофакторної кореляції показує, що зв’язок між змінними та достатньо тісний.
3. Визначимо значущість рівняння регресії за допомогою - критерію Фішера:
, .
Обчислене фактичне значення критерію Фішера порівнюємо з табличним при ступенях свободи чисельника і – знаменника і прийнятому рівні значущості :
.
Так як , то отримане рівняння регресії є статистично значущим. Це означає, що отримана модель може використовуватися для прогнозів, якщо оцінки параметрів також виявляться статистично значущими.
4. Для обчислення значущості оцінок параметрів моделі обчислимо - критерій Стьюдента.
Дисперсія залишків обчислюється за формулою (2.3.2):
, .
З урахуванням стандартної похибки оцінки параметрів розраховуємо значення - критеріїв за формулою (3.3.5)
,
,
.
Знаходимо табличне значення -критерію для рівня значущості і числа ступенів свободи , тоді
.
Так як , , і , це означає, що отримані значення , і є статистично значущими. Іншими словами, гіпотеза про те, що , і дорівнюють нулю відкидається. Такий результат перевірки значущості параметрів рівняння означає, що побудована модель регресії може використовуватися для аналізу і прогнозу економічного процесу.
5. Побудуємо точковий та інтервальний прогнози для значень пояснювальної змінної при , 40 ум. од.
(ум. од.).
Знайдемо дисперсію похибки прогнозу групової середньої. Для цього спочатку обчислимо
.
Тоді за формулою (3.4.3)
,
.
За таблицями для і числа ступенів свободи знаходимо
.
На кінець, за формулою (3.4.6) довірчий інтервал для математичного сподівання :
або
.
Останнє означає, що з надійністю 0,95 середня заробітна плата при рентабельності 15% і затратах капіталу 40 ум. од. буде знаходитися в межах від 98,35 до 109,78 ум. од.
Знайдемо довірчий інтервал для індивідуальних значень при . За формулою (3.4.7)
,
.
Далі за (3.4.9)
,
тобто
.
З надійністю 0,95 індивідуальне значення заробітної плати при затратах капіталу 40 ум. од. і рентабельності 15% буде знаходитися в межах від 98,03 до 110,67 ум. од. при незмінності умов проведення спостереження.