1.2. Основні математичні поняття,
які використовуються в регресійному аналізі
Математичне сподівання
дискретної випадкової величини
дорівнює сумі добутків можливих значень
випадкової величини на їх ймовірності
.
(1.2.1)
Математичне сподівання
позначається
,
,
,
.
Середнє арифметичне значення це експериментальна величина, його, як правило, знаходять на основі вибіркових даних.
Ранжована
послідовність значень випадкової
величини
називається варіаційним рядом. Числа
називаються – варіантами варіаційного
ряду. Числа
,
що показують скільки разів зустрічається
варіанта
в ряді спостереження, називаються
частотами.
Перелік варіант і відповідних їм частот називається статистичним розподілом вибірки або статистичним рядом.
Для дискретного статистичного ряду середнє арифметичне обчислюється за формулою
,
де
– число варіант, які не повторюються,
– обсяг вибірки.
Середнє арифметичне значення
позначається
або
.
Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню квадрата різниці між величиною та її математичним сподіванням
.
(1.2.2)
Дисперсія позначається
,
,
.
Якщо дисперсія знаходиться на основі
вибіркових даних, то використовують
також позначення
.
Дисперсія є мірою розсіяння ймовірнісного розподілу випадкової величини.
Незміщена оцінка дисперсії знаходиться на основі вибіркових спостережень і обчислюється за формулою
,
(1.2.3)
або за формулою
,
(1.2.4)
де
.
(1.2.5)
Якщо вибірка велика, тобто
,
то
і дисперсія вибірки
обчислюється за формулою
. (1.2.6)
Величину (1.2.6) називають також виправленою вибірковою дисперсією. Вона є незміщеною і обґрунтованою оцінкою дисперсії генеральної сукупності.
Середнє квадратичне
відхилення або стандартне відхилення
випадкової величини дорівнює кореню
квадратному із її дисперсії
.
Стандартне відхилення також, як і є мірою розсіяння.
Вибіркова коваріація
(або кореляційний момент)
виступає як мірою взаємозв’язку між
двома випадковими величинами
і
,
так і мірою ступеня розсіяння значень
цих двох змінних відносно їх математичних
сподівань. Вибіркова
коваріація розраховується
за формулою
,
де
і
вибіркові середні значення величин
і
.
Для коваріації випадкових величин
і
використовуються також позначення
,
.
Вибіркова коваріація дорівнює нулю, якщо величини і незалежні. Такі величини ще називають некорельованими. Коваріація однієї змінної дорівнює її дисперсії, тобто
.
Коваріація величина розмірна.
Її розмірність залежить від розмірності
і чисельного значення величин, для яких
вона була обчислена, це створює незручності
в використанні для характеристики
взаємозв’язку величин. Більш точною
мірою зв’язку між величинами
і
порівняно
з коваріацією є коефіцієнт кореляції,
який є безрозмірним. Вибірковий лінійний
коефіцієнт кореляції позначається
або
і визначається формулою
.
Величина
є показником тісноти лінійного зв’язку
між величинами
і
,
чим ближче
до одиниці, тим тісніший зв’язок. При
зв’язок прямий, при
зв’язок обернений. Прямий зв'язок
означає, що збільшення значень пояснюючої
змінної (регресора)
приводить до збільшення значень
пояснювальної змінної (регресанта)
.
При оберненому зв’язку при збільшенні
значень
значення
зменшуються.
При вивченні
-вимірної
випадкової величини
,
де
– випадкові складові величини
,
багатовимірним аналогом дисперсії
виступає дисперсійно – коваріаційна
матриця або , що те саме, коваріаційна
матриця
,
де
– коваріації складових
,
.
