Решение задач теории множеств с помощью математической логики

Задачи из теории множеств можно решать, применяя математическую логику. Для этого выражение р  А мы заменяем на высказывания, а операции пересечения (), объединения () и разности (\) множеств заменяя на логические связки – конъюнкция ( - “и“), дизъюнкция ( - “или”), отрицание импликации (  - “не “если..., то ...”). Выполнять эту замену мы можем в силу следующей теоремы: Элемент х принадлежит множеству М, порожденному (построенному) с помощью операций, примененных к множествам А₁, …, А_n тогда и только тогда, когда формула F принимает истинное значение (F = И  х  М).

Иными словами, высказывания х, у, z заменяют выражения а  А, b  B, с  С соответственно, а формулы f_{1 ,} f₂, f₃ заменяют операции   В,   В,  \ В, соответственно, где f₁ - конъюнкция, f₂ – дизъюнкция и f₃ - отрицание импликации.

Примеры:

1. Возьмем выражение вида  \ (  С) = ( \ )  ( \ С) и выполним замену согласно теоремы. Проверяем левую часть: р  А и р  (В  С), следовательно р  А и р  В, и р  С. Операции заменяются на логические связки и получаем . Теперь правую часть: р  А, р  В и р  А, р  С  .

Теперь мы имеем следующее выражение:

.

Проверяем истинность полученного равенства. Для этого составим таблицы истинности (сделайте это самостоятельно). Равенство истинно.

2. (  ) \ С = (  ) \ (  С) сделаем замену: р  А  В и р  С  р  А и р  В, и р  С; р  А  В и р  А  С  р  А и р  В, и, р  А или р  С. Операции заменяются на логические связки и получаем следующее равенство:

,

преобразуем

.

1. Докажите равенство с помощью математической логики:

а)  \ (  С) = ( \ )  ( \ С);

б) (  ) \ С = ( \ )  ( \ С);

г)  \ ( \ С) = ( \ С) \ ;

д) ( \ )  С = (  С) \ (В  С).

Декартово произведение

1. Элементами множеств А и В являются пары чисел:

А = {(1, 12), (2, 9), (3, 6), (4, 3), (5, 0)},

B = {(1, 9), (2, 7), (3, 6), (4, 7), (5, 0)}.

Найдите пересечение и объединение данных множеств.

2. Перечислите элементы декартова произведения  В, если:

а) А = {a, b, c, d}, B = {b, k, l};

б) А = B = {a, b, c};

в) А = {a, b, c}, B = .

3. Даны два множества А = {1, 3, 5} и B = {2, 4}. Перечислите элементы множества  В и В . Верно ли, что:

а) Множества  В и В  содержат одинаковое число элементов;

б) Множества  В и В  равны?

4. Проверьте справедливость равенства (   С = ( С)  ( С) для множеств А = {3, 5, 7}, B = {7, 9} и C = {0, 1}.

5. Изобразите в прямоугольной системе координат множество  В, если:

а) А = [-2, 2], B = {2, 3, 4};

б) А = [-2, 2], B = (2, 4);

в) А = R, B = [2, 4].

Глава 2. Введение в математическую логику

2.1. Моделирование высказываний

Согласно одному из самых распространенных определений, логика есть анализ методов рассуждений. Изучая эти методы, логика интересуется в первую очередь формой, а не содержанием доводов в том или ином рассуждении. Логика не интересует истинность или ложность отдельных посылок или заключений, он лишь желает знать, вытекает ли истинность заключения из истинности посылок. Одна из основных задач логика – систематическая формализация и каталогизация правильных способов рассуждений.

Математическая логика, как любая другая математическая дисциплина предметом своего изучения имеет математическую модель, в данном случае - модель человеческих рассуждений и правил умозаключений. И как всякая модель она и адекватна, и не совпадает с самой содержательной логикой.

По большому счету (по логике курса) объем раздела «Математическая логика» должен включать представление об аксиоматических теориях и алгебраических системах.

Доступность этого материала, его математическая сложность и возможность изучения системы величин без этих предельных теоретических оснований позволяют нам не включать в текст весь материал, а ограничится разделами, связанными с теорией множеств и позволяющими использовать их содержание для решения задач.