I. Введение.

2. Теория множеств и элементы математической логики.

2.1. Представления о множествах.

2.1.1. Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности).

2.1.2. Подмножества (Включение, универсум, пустое множество, множество всех подмножеств Р(А)).

2.1.3. Способы задания множеств (Интуитивный принцип абстракции А = {x / P(x)}, примеры).

2.2. Операции над множествами (объединение (сумма), пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение).

2.3. Объекты и их признаки (объем признака, абстрактный признак, моделирование признаков множествами).

2.4. Эквивалентность множеств. Понятие мощности.

2.4.1. Конечные и бесконечные множества.

2.4.2. Счетные и несчетные множества, континуум.

2.4.3. Эквивалентность множеств.

2.4.4. Понятие мощности (сравнение мощностей).

2.5 Отношения и функции на множествах.

2.5.1. Общее понятие отношения (произведение множеств, бинарные и унарные отношения, примеры).

2.5.2. Упорядоченные множества (отношение порядка, примеры).

2.5.3. Отношение эквивалентности (классы, представители, примеры).

2.5.4. Функции, отображения, операции.

III. Введение в математическую логику.

3.1. Моделирование высказываний.

3.2. Исчисление высказываний (семантика, синтаксис).

3.2.1. Логические связки. Таблицы истинности.

3.2.2. Тавтологии.

3.2.3. Полные системы связок.

3.3. Аксиоматическая система величин.

3.3.1. Аксиомы для систем величин.

3.3.2. Аксиома Архимеда. Алгоритм Евклида.

3.4 Моделирование величин классами эквивалентности на множествах.

2. Действительное число как отношение величин.

4.1. Измерение, число - отношение величин.

4.2. Диалектическая связь действительных чисел и величин.

4.3. Отношения и операции на числах.

4.4. Аксиоматическое поле действительных чисел.

4.5. Геометрическая интерпретация.

4.6. Рациональные и целые числа.

4.7. Системы счисления.

2. Арифметика натуральных чисел (натуральный ряд).

5.1. Аксиоматика натуральных чисел.

2. Комплексные числа.

6.1. Векторы. Системы направленных величин.

6.2. Комплексные числа как отношения векторов.

6.3. Алгебраическая форма комплексного числа.

4. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Каждый параграф содержит контрольные вопросы, задания и упражнения, которые необходимо выполнять во время занятий либо в качестве домашних заданий. В конце изучения каждой главы проводится контрольная работа.

В связи с большим объемом курса и малым количеством времени мы смогли провести апробацию только одной главы - «Теория множеств и элементы математической логики». Апробация происходила в форме интенсивного курса, который рассчитан на 19 уроков (должны были проходить в течение семестра) и скомпонован в трехдневный курс.

В педагогических колледжах и училищах по государственному стандарту существует курс «Теоретические основы математики» или аналогичные по своей структуре и тематике курсы математики, разработанные на основе учебника Л.П. Стойловой «Математика» [19], который читается студентам педколледжа №1 с первого семестра другим преподавателем. Вследствие этого интенсивный курс был назван «Дополнительными главами теоретических основ математики». В конце этого курса студенты обязаны сдать зачет.

На этой базе происходит встраивание пробного курса в виде ряда лекций и семинарских занятий.

Этот курс выстроен в логике, где происходит порождение числа как всеобщей формы (т.е. как отношения величин), приведение в систему связанных с этим понятий и понимания их оснований, а также показаны различные формы существования чисел на протяжении всей истории математики, начиная с натуральных чисел и заканчивая современной формой – комплексные числа.

Принципы и сущности подхода к развивающему обучению потребовали от авторов оригинального взгляда на систему математических знаний и ее связи с дидактикой и методикой [7].

Порождение числа как всеобщей формы, как отношения величин требует не только приведения в систему связанных с этим понятий, но и понимания их оснований. Появившись как средства решения определенных общечеловеческих проблем, эти понятия далее “живут” и развиваются в своей (математической) логике. Эта “двойственность” понятий во многом определяет методические подходы в математике РО для начальных классов.

В курсе «Избранные вопросы математики» (и в учебном пособии) формирование понятия величины базируется на представлении о классах эквивалентности. В нашем курсе формирование представлений о величине строится с помощью графического моделирования, что, на наш взгляд, может помочь простроить переход в сознании студента (а, следовательно, и в сознании его будущих учеников) от предметно-чувственного понятия к абстрактному содержанию как величины.

Понятие величины лежит в основании моделирования многих физических явлений; скорость, время, ускорение, объем, масса – вот далеко не полный перечень физических величин, которые в процессе измерения могут принимать те или иные числовые значения.

Математика, отвлекаясь от конкретного содержания физических процессов, оставляет величине только её “абстрактную” суть – принимать те или иные числовые значения.

Но каждый раз при обсуждении понятия величины и для ее “удержания” требовалось (без осуждения) вводить понятие числа и измерения. Так мы обнаруживаем связь этих трех представлений и некоторую “первичность” числа и измерения перед величиной. В том смысле, что эмпирически “выращенные” со школьной скамьи представления о числе и (затем) об измерении организуют наше представление о величине. Встает вопрос: единственный ли это подход? Критика такого подхода началась с появления теории множеств и полагания ее в основание математики. Но изменения в математических предметах произошли в основном в высшей школе и отчасти в старшей, не затрагивая (принципиально) младшую и среднюю школы. В частности, исследования Давыдова В.В. [6] и Пиаже Ж. [17] о математических представлениях детей показывают нам, что логичнее и историчнее предположить, что первичны представления о величине и измерении и что они лежат в основе представлений о числе ¹, как единой мере (едином смысле, а поэтому – способе), получающейся при измерении величин различной природы. Именно такой подход и положен в основание математики в развивающем обучении, именно он дает общее теоретическое представление о природе вещественных чисел. В. В. Давыдов при этом, следуя Ньютону, использует термин число как отношение величин, который подразумевает и способ измерения, и результат измерения, и мерку.

В данной работе мы “помещаем” (полагаем) теорию множеств в основание понятия признака и затем величины (см. п. 2.3, 3.4 программы «Избранные вопросы математики»). Это важно для подготовки учителей, поскольку в курсе математики для детей признаки и величины осваиваются эмпирически на основе опыта самих детей.

Таким образом, данный курс предназначен для студентов, обучающихся по программе “учитель развивающего обучения”, которые в дальнейшем будут практиковать развивающее обучение в начальной школе на предмете математика.

На основе этой апробации разработаны рекомендации по курсу «Избранные вопросы математики», которые могут выступать методическим материалом для тех, кто изучает этот предмет и тех, кто будет изучать «Теоретические основы математики» или курсы, связанные с методикой преподавания математики в начальной школе по системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.

Основными результатами моей работы являются:

• текст учебного пособия «Избранные главы математики» для студентов и педагогов;

• текст методической разработки курса для студентов педколледжа;

• апробация главы курса «Теория множеств и элементы математической логики»;

• создание ряда контрольных вопросов, заданий, упражнений для курса «Избранные вопросы математики».

Интенсивный курс позволил увидеть и устранить разрыв в знаниях между студентами вуза и колледжа.

Апробация показала эффективность методики. Более 50 % студентов из группы (34 человека) успешно выполнили итоговую контрольную работу. Оставшиеся студенты сдавали зачет в следующей форме: выполнение практических заданий (излагая и объясняя свое решение) и собеседование по всему пройденному материалу. Большая часть из второй половины группы сдала зачет в такой форме с первого раза.

В дипломной работе предлагается текст методической разработки курса «Избранные главы математики», а также описание интенсивного курса, в рамках которого проходила апробация первой главы учебного пособия и в приложении находится электронный вариант учебника «Избранные вопросы математики».