1. 4. Эквивалентность множеств. Понятие мощности

Все множества можно разделить на конечные и бесконечные. Действительно, для некоторых множеств можно точно указать число элементов, содержащихся в данном множестве. Например, для множества всех вершин некоторого многогранника. Для других множеств мы можем фактически не знать число элементов, но принципиально утверждать, что оно конечно. Например, число берез на Земле. С другой стороны, существуют множества, состоящие из конечного числа элементов. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех точек на прямой, всех кругов на плоскости и т. д. Любое бесконечное в нашем представлении множество можно охарактеризовать тем, что, удаляя из него любое конечное число элементов, мы не сможем его исчерпать, т. е. в нем при этом всегда останутся элементы.

Любые два конечных множества можно сравнить по числу содержащихся в нем элементов. Можно ли подобным образом сравнивать бесконечные множества? Имеет ли смысл, например, вопрос о том, чего больше: кругов на плоскости или рациональных точек на прямой?

Чтобы сравнить между собой два конечных множества, можно, во-первых, сосчитать число элементов в каждом из них; во-вторых, установить взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, т.е. каждому элементу одного множества сопоставить один и только один элемент другого множества, и обратно. Очевидно, что взаимно однозначное соответствие между двумя конечными множествами можно установить тогда и только тогда, когда число элементов в этих множествах одинаково.

Метод подсчета числа элементов для сравнения бесконечных множеств очевидно не пригоден, но в силу последнего замечания в основу сравнения таких множеств можно положить метод установления взаимно однозначного соответствия между ними.

Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел.

Бесконечное множество А называется счетным, если между ним и множеством натуральных чисел N можно установить взаимно однозначное соответствие. Другими словами, элементы множества А можно перенумеровать числами натурального ряда, т. е. А = {a₁, a₂, ... , a_n, ...}.

Примеры счетных множеств:

1. Множество всех целых чисел Z = {..., -n, ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... , n, ...} является счетным множеством. Соответствие, которое каждому неотрицательному числу n  0 ставит в соответствие натуральное нечетное число 2n + 1, а отрицательному числу n  0 - четное число 2|n| , является, очевидно, взаимно однозначным между множествами Z и N.

2. Множество С = {x | x = 2ⁿ, n  N} - всех положительных степеней двойки. Соответствие 2ⁿ  n показывает, что множество С счетно.

3. Множество рациональных чисел Q = {x | x = n/m; n  Z, m  N}. Докажем, что множество Q - счетно. Каждое рациональное число однозначно представимо в виде рациональной несократимой дроби x = n/m, m  0. Сумму |n| + m назовем высотой числа х. Ясно, что дробей, имеющих заданную высоту p, конечно. Если нумеровать рациональные числа по возрастанию высоты, то каждое число получит свой номер, т.е. будет установлено взаимно однозначное соответствие между множествами рациональных и натуральных чисел.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным.

Сформулируем некоторые общие свойства счетных множеств:

1. Всякое подмножество счетного множество конечно или счетно.

2. Объединение конечного или счетного множества счетных множеств само является счетным множеством.

3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Два множества А и В называются эквивалентными (А  В), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Понятие эквивалентности применимо к любым множествам. Для конечных множеств эквивалентность означает совпадение числа элементов в них. Любое счетное множество можно определить как множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.

Ясно, что два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой. В частности, все счетные множества эквивалентны между собой.

Существование несчетного множества утверждает следующая теорема.

Теорема 1. Множество всех действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует некоторое перечисление действительных чисел , лежащих на отрезке [0, 1]:

 ₁ = 0,a₁₁a₁₂a_{1 3} ... a_1n ... ,

 ₂ = 0,a_{2 1}a_{2 2}a_{2 3} ... a_2n ... ,

 ₃ = 0,a₃₁a_{3 2}a_{3 3} ... a_3n ... , (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 _n = 0,a_n1a_n2a_n3 ... a_nn ... .

Здесь а _{j k} — k-я десятичная цифра числа  _j. Построим дробь

 = 0, b₁b₂ ... b_n ...

следующим образом: b₁ примем произвольную цифру, не совпадающую с a₁₁, за b₂ - произвольную цифру, не совпадающую с a_{2 2}, и т.д., вообще за b_n примем произвольную цифру, не совпадающую с a_nn. Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне (1). Действительно, от  ₁ дробь  отличается, по крайней мере первой цифрой, от второй дроби - второй цифрой и т. д., вообще, так как b_n  a_nn для всех n, то дробь  отлична от любой из дробей _j, содержащихся в перечне (1). Таким образом, никакой перечень действительных чисел, лежащих на отрезке [0, 1], не исчерпывает этого отрезка.

Итак, отрезок [0, 1] дает пример несчетного множества. Приведем примеры множеств, эквивалентных множеству точек отрезка [0, 1].

Примеры:

1. Множество точек любого отрезка [a, b] эквивалентно отрезку [0, 1]. Из Рис. 2 ясно, как установить взаимно однозначное соответствие (p  q) между точками отрезков [0, 1] и [a, b]. Аналогично устанавливается эквивалентность любых двух отрезков.

2. Множество точек отрезка [-1, 1] эквивалентно множеству всех точек числовой прямой, т.е. множеству всех действительных чисел. На Рис. 3 видно, что каждой точке p из отрезка [-1, 1] однозначно соответствует точка p’ на полуокружности, а точке p’ - точка q на числовой прямой, при таком соответствии: 0 1, 1 , -1.

Рисунок 3 иллюстрирует эквивалентность отрезка [0, 1] и множества точек полупрямой [0, +), а так же эквивалентность множества точек отрезка [-1, 1] и множества точек полуокружности.

C 1’

С 

p’

0 p 1

a q b q -1 p 0 1 

Рис. 2 Рис. 3

Рассматривая примеры, связанные с бесконечными множествами, можно заметить, что бесконечное множество оказывается эквивалентным своему собственному подмножеству (множество целых и множество натуральных чисел, отрезок [a, b] и вся числовая прямая). Более того, это обстоятельство является характерным для всех бесконечных множеств. Действительно, из всякого бесконечного множества M можно выбрать счетное подмножество. Пусть это будет А = {a₁, a₂, ... , a_n, ...}. Разобьем А на два счетных подмножества А₁= {a₁, a₃, a₅, ...} и А₂ = {a₂, a₄, a₆, ...}. Между множествами А₁ и А₂ можно установить взаимно однозначное соответствие. Это соответствие можно затем продолжить до взаимно однозначного соответствия между множествами А  ( \ A) = M и A₁  ( \ A) = M \ A₂ , отнеся каждому элементу из М \ А сам этот элемент. Множество M \ A₂ является собственным подмножеством множества М. Таким образом, получили следующее предложение: Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.

Это свойство можно принять за определение бесконечного множества.

Два эквивалентных между собой множества (М  N) называют равномощными или говорят, что они имеют одинаковую мощность. Таким образом, мощность это то общее, что присуще всем эквивалентным между собой множествам. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов. Мощность множества натуральных чисел, а следовательно и любого счетного множества обозначается ₀ (читается: “алеф нуль”). Мощность всех действительных чисел отрезка [0, 1] и всех ему эквивалентных множеств называют континуальной или говорят, что эти множества имеют мощность континуума. Эта мощность обозначается символом с (или символом ).

Для мощностей конечных множеств, кроме понятия равенства имеются понятия “больше” и “меньше”. Выясним, можно ли эти последние понятия распространить на бесконечные множества?

Для произвольных множеств А и В обозначим через m(A) и m(B) их мощности. Если А эквивалентно В, то по определению m(A) = m(B). Если А эквивалентно некоторому подмножеству В₁  В, а при этом в А нет подмножества, эквивалентного В, то естественно считать что m(A)  m(B). Однако логически, кроме указанных возможностей, есть еще две:

а) В  В₁  А , А  А_  В;

б) А и В не эквивалентны и ни в одном из них нет подмножеств, эквивалентных другому множеству.

В случае а) множества А и В оказываются эквивалентными друг другу, т.е. m(A) = m(B). Это утверждает следующая теорема.

Теорема 2. ( Кантора - Бернштейна):

Пусть А и В два произвольных множества. Если в А имеется подмножество А₁, эквивалентное В, а в В имеется подмножество В₁, эквивалентное А, то А и В эквивалентны между собой.

В случае б), который означал бы существование несравнимых между собой мощностей, на самом деле невозможен. Это следует из теоремы Цермело, которая будет сформулирована позднее.

Таким образом, мощности любых двух множеств А и В или совпадают m(A) = m(B), или удовлетворяют одному из двух соотношений:

m(A)  m(B) , m(A)  m(B).

В связи с тем, что мощности можно сравнивать, возникают следующие вопросы: существуют ли мощности, промежуточные между мощностью “самого маленького” из бесконечных множеств - счетного множества и мощностью континуума; существуют ли множества, мощность которых больше, чем мощность континуум; вообще, существует ли “наивысшая” мощность? Оказывается, верна следующая теорема.

Теорема 3. Пусть М - некоторое множество и Р(М) - множество всех подмножеств множества М. Тогда мощность Р(М) больше мощности самого множества М.

Доказательство: Ясно, что мощность множества Р(М) не может быть меньше, чем мощность исходного множества, так как “одноэлементные” подмножества из М образуют в Р(М) множество эквивалентное множеству М. Осталось показать, что мощности множеств М и Р(М) не совпадают. Предположим противное. Пусть между элементами a, b, ... множества М и какими-то элементами А, В, ... множества Р(М) (т.е. какими-то подмножествами из М) установлено взаимно однозначное соответствие :

а  А  b  В, ...

Покажем, что оно не исчерпывает всех подмножеств множества М, т. е. всех элементов множества Р(М). Пусть Х - совокупность элементов из М, не входящих в те подмножества, которые им соответствуют. Другими словами : если и а  А, то элемент а мы не включаем в Х, а если а  А и а  А, то элемент а мы включаем в Х. Ясно, что Х есть подмножество в М, т.е. некоторый элемент из Р(М). Покажем, что подмножеству Х не может соответствовать никакой элемент из М. Допустим, что такой элемент х  Х существует; посмотрим, будет он содержаться в подмножестве Х или нет. Пусть х  Х; по определению в Х входит всякий элемент, не содержащийся в подмножестве, которое ему соответствует, следовательно, элемент х должен быть включен в Х. Обратно, предположив, что х содержится в Х, мы получим, что не может содержаться в Х, так как в Х включаются только те элементы, которые не входят в соответствующие им подмножества. Итак, элемент х, соответствующий подмножеству Х, должен одновременно и содержаться и не содержаться в Х. Это означает, что такого элемента вообще не существует, т.е. что взаимно однозначного соответствия между элементами множества М и всеми его подмножествами установить нельзя. Теорема доказана.

Итак, для любой мощности можно построить множество большей мощности, затем еще большей и т.д., получая, таким образом, не ограниченную сверху шкалу мощностей.

Контрольные вопросы:

1. Определите конечные и бесконечные множества, приведите примеры.

2. Что такое счетное множество и несчетное, примеры?

3. Перечислите свойства счетных множеств.

4. Сформулируйте теорему о существовании несчетного множества.

5. Определите эквивалентность двух множеств и приведите несколько примеров. Сформулируйте теорему об эквивалентности двух множеств.

6. Какие множества называются равномощными, какие множества имеют мощность континуума, примеры?

7. Дайте определение множество всех подмножеств множества, приведите пример.